4) Suatu perusahaan memproduksi 2 barang dengan fungsi permintaan sebagai berikut: Fungsi permintaan barang 1 adalah P_(X)=57-X Fungsi permintaan barang 1 adalah Py=50-Y Sedangkan I fungsi total biaya gabungan dari kedua barang tersebut adalah: TC=10X+XY+10Y Tentukan: a. Fungsi TR dan fungsi keuntungan (laba) b. Harga dan kuantitas X dan Y yang memaksimumkan keuntungan c. Besar keuntungan maksimum tersebut

Question

Pertanyaan

4) Suatu perusahaan memproduksi 2 barang dengan fungsi permintaan sebagai berikut: Fungsi permintaan barang 1 adalah P_(X)=57-X Fungsi permintaan barang 1 adalah Py=50-Y Sedangkan I fungsi total biaya gabungan dari kedua barang tersebut adalah: TC=10X+XY+10Y Tentukan: a. Fungsi TR dan fungsi keuntungan (laba) b. Harga dan kuantitas X dan Y yang memaksimumkan keuntungan c. Besar keuntungan maksimum tersebut

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

a. Fungsi Total Pendapatan (TR) dan Fungsi Keuntungan (Laba)

Fungsi total pendapatan (TR) dihitung dengan mengalikan harga (P) dengan kuantitas (X atau Y).

- Untuk barang 1:
\[
TR_X = P_X \times X = (57 - X) \times X = 57X - X^2
\]

- Untuk barang 2:
\[
TR_Y = P_Y \times Y = (50 - Y) \times Y = 50Y - Y^2
\]

Fungsi keuntungan (laba) adalah selisih antara total pendapatan dan total biaya (TC).

- Total biaya gab \[
TC = 10X + XY + 10Y
\]

- Fungsi laba:
\[
\pi = TR_X + TR_Y - TC = (57X - X^2) + (50Y - Y^2) - (10X + XY + 10Y)
\]
\[
\pi = 57X - X^2 + 50Y - Y^2 - 10X - XY - 10Y
\]
\[
\pi = 47X - X^2 + 40Y - Y^2 - XY
\]

b. Harga dan Kuantitas X dan Y yang Memaksimumkan Keuntungan

Untuk memaksimumkan keuntungan, kita perlu mencari titik stasioner dari fungsi laba \(\pi\) dengan mengambil turunan parsial terhadap X dan Y, lalu menyamakannya dengan nol.

- Turunan parsial \(\pi\) terhadap X:
\[
\frac{\partial \pi}{\partial X} = 47 - 2X - Y = 0
\]

- Turunan parsial \(\pi\) terhadap Y:
\[
\frac{\partial \pi}{\partial Y} = 40 - 2Y - X = 0
\]

Dari dua persamaan tersebut, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear:

1. \(47 - 2X - Y = 0\)
2. \(40 - 2Y - X = 0\)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menemukan nilai X dan Y yang memaksimumkan keuntungan.

c. Besar Keuntungan Maksimum

Setelah menemukan nilai X dan Y yang memaksimumkan keuntungan, substitusikan nilai-nilai tersebut kembali ke dalam fungsi laba \(\pi\) untuk mendapatkan besar keuntungan maksimum.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear tersebut:

Dari persamaan kedua, kita dapat mengekspresikan X dalam bentuk Y:
\[
X = 40 - 2Y
\]

Substitusikan ke persamaan pertama:
\[
47 - 2(40 - 2Y) - Y = 0
\]
\[
47 - 80 + 4Y - Y = 0
\]
\[
3Y = 33
\]
\[
Y = 11
\]

Substitusikan nilai Y ke dalam persamaan untuk X:
\[
X = 40 - 2(11)
\]
\[
X = 18
\]

Jadi, harga dan kuantitas yang memaksimumkan keuntungan adalah:
- Harga barang 1 (\(P_X\)) = 57 - 18 = 39
- Harga barang 2 (\(P_Y\)) = 50 - 11 = 39
- Kuantitas barang 1 (X) = 18
- Kuantitas barang 2 (Y) = 11

Besar keuntungan maksimum:
\[
\pi = 47(18) - (18)^2 + 40(11) - (11)^2 - (18)(11)
\]
\[
\pi = 846 - 324 + 440 - 121 - 198
\]
\[
\pi = 543
\]

Jadi, keuntungan maksimum adalah mata uang.

Pertanyaan

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih