5. Sebuah benda bermassa m=2 kg terhubung pada pegas dengan konstanta pegas k= 50N/m Benda tersebut bergetar harmonik sederhana di atas permukaan datar licin tanpa gesekan. Pada saat t=0, benda berada pada posisi sejauh x_(0)=0.1 m dari titik keseimbangan dengan kecepatan awal v_(0)=0m/s (a) Gunakan hukum II Newton untuk menurunkan persamaan diferensial gerak benda dan tentukan solusi umum dari persamaan tersebut. (b) Tentukan energi mekanik total sistem, energi kinetik , dan energi potensial sebagai fungsi waktu. (c) Hitung periode dan frekuensi osilasi benda. (d) Tentukan kecepatan maksimum dan percepatan maksimum benda. (e) Pada waktu t=(pi )/(4omega ) tentukan posisi, kecepatan, energi kinetik, dan energi potensial benda.

Question

Pertanyaan

5. Sebuah benda bermassa m=2 kg terhubung pada pegas dengan konstanta pegas k= 50N/m Benda tersebut bergetar harmonik sederhana di atas permukaan datar licin tanpa gesekan. Pada saat t=0, benda berada pada posisi sejauh x_(0)=0.1 m dari titik keseimbangan dengan kecepatan awal v_(0)=0m/s (a) Gunakan hukum II Newton untuk menurunkan persamaan diferensial gerak benda dan tentukan solusi umum dari persamaan tersebut. (b) Tentukan energi mekanik total sistem, energi kinetik , dan energi potensial sebagai fungsi waktu. (c) Hitung periode dan frekuensi osilasi benda. (d) Tentukan kecepatan maksimum dan percepatan maksimum benda. (e) Pada waktu t=(pi )/(4omega ) tentukan posisi, kecepatan, energi kinetik, dan energi potensial benda.

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Berikut penyelesaian soal gerak harmonik sederhana:

(a) Menurunkan Persamaan Diferensial dan Solusi Umum

Hukum II Newton menyatakan bahwa ΣF = ma, di mana ΣF adalah resultan gaya, m adalah massa, dan a adalah percepatan. Pada sistem pegas massa, gaya pemulih pegas diberikan oleh Hukum Hooke: F = -kx, di mana k adalah konstanta pegas dan x adalah simpangan dari titik kesetimbangan.

Jadi, persamaan gerak menjadi:

-kx = m(d²x/dt²)

atau

d²x/dt² + (k/m)x = 0

Ini adalah persamaan diferensial orde kedua linier homogen dengan koefisien konstan. Solusi umum persamaan ini adalah:

x(t) = A cos(ωt + φ)

di mana:

* A adalah amplitudo osilasi
* ω adalah frekuensi sudut (ω = √(k/m))
* φ adalah konstanta fase

(b) Energi Mekanik Total, Energi Kinetik, dan Energi Potensial

* Energi Mekanik Total (E): Energi mekanik total dalam sistem GHS adalah konstan dan merupakan jumlah energi kinetik (K) dan energi potensial (U):

E = K + U = ½mv² + ½kx²

Substitusikan x(t) = A cos(ωt + φ) dan v(t) = -Aω sin(ωt + φ) ke dalam persamaan energi:

E = ½m(Aω)²sin²(ωt + φ) + ½k(A)²cos²(ωt + φ) = ½kA² (karena ω² = k/m)

* Energi Kinetik (K):

K(t) = ½m(v(t))² = ½m(Aω)²sin²(ωt + φ) = ½kA²sin²(ωt + φ)

* Energi Potensial (U):

U(t) = ½kx(t)² = ½k(A)²cos²(ωt + φ) = ½kA²cos²(ωt + φ)

(c) Periode dan Frekuensi Osilasi

Frekuensi sudut (ω):

ω = √(k/m) = √(50 N/m / 2 kg) = 5 rad/s

Periode (T):

T = 2π/ω = 2π/5 s ≈ 1.26 s

Frekuensi (f):

f = 1/T = 5/(2π) Hz ≈ 0.796 Hz

(d) Kecepatan Maksimum dan Percepatan Maksimum

* Kecepatan Maksimum (v_max):

v_max = Aω = (0.1 m)(5 rad/s) = 0.5 m/s

* Percepatan Maksimum (a_max):

a_max = Aω² = (0.1 m)(5 rad/s)² = 2.5 m/s²

(e) Posisi, Kecepatan, Energi Kinetik, dan Energi Potensial pada t = π/(4ω)

Pada t = π/(4ω) = π/(4*5) = π/20 s:

* Posisi (x):

x(π/20) = A cos(ω(π/20) + φ)

Karena v₀ = 0 pada t=0, maka φ = 0 dan A = x₀ = 0.1 m. Sehingga:

x(π/20) = 0.1 cos(π/4) = 0.1 (√2/2) ≈ 0.071 m

* Kecepatan (v):

v(π/20) = -Aω sin(π/4) = -(0.1 m)(5 rad/s)(√2/2) ≈ -0.354 m/s

* Energi Kinetik (K):

K(π/20) = ½kA²sin²(π/4) = ½(50 N/m)(0.1 m)²(1/2) = 0.125 J

* Energi Potensial (U):

U(π/20) = ½kA²cos²(π/4) = ½(50 N/m)(0.1 m)²(1/2) = 0.125 J

Kesimpulannya, pada waktu t = π/(4ω), energi kinetik dan energi potensial sama besar, sesuai dengan sifat konservatif energi dalam sistem GHS.

Pertanyaan

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih