4. Diketahui x,yin R Buktikan bahwa xleqslant y jika dan hanya jika untuk setiap varepsilon gt 0 y+2epsilon gt x

Question

Pertanyaan

4. Diketahui x,yin R Buktikan bahwa xleqslant y jika dan hanya jika untuk setiap varepsilon gt 0 y+2epsilon gt x

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Bukti:

$(\Rightarrow)$ Asumsikan $x \leq y$. Kita ingin menunjukkan bahwa untuk setiap $\epsilon > 0$, $y + 2\epsilon > x$.

Karena $x \leq y$, maka $y - x \geq 0$. Karena $\epsilon > 0$, maka $2\epsilon > 0$. Oleh karena itu,
$$y + 2\epsilon = (y - x) + x + 2\epsilon > x.$$

$(\Leftarrow)$ Asumsikan bahwa untuk setiap $\epsilon > 0$, $y + 2\epsilon > x$. Kita ingin menunjukkan bahwa $x \leq y$.

Asumsikan, untuk kontradiksi, bahwa $x > y$. Maka $x - y > 0$. Pilih $\epsilon = \frac{x - y}{2}$. Karena $x - y > 0$, maka $\epsilon > 0$.

Dengan asumsi kita, $y + 2\epsilon > x$. Substitusikan nilai $\epsilon$ yang kita pilih:

$$y + 2 \left(\frac{x - y}{2}\right) > x$$

$$y + x - y > x$$

$$x > x$$

Ini adalah kontradiksi. Oleh karena itu, asumsi awal kita bahwa $x > y$ salah. Jadi, $x \leq y$.

Kesimpulan:

Kita telah menunjukkan bahwa $x \leq y$ jika dan hanya jika untuk setiap $\epsilon > 0$, $y + 2\epsilon > x$.

Pertanyaan

4. Diketahui x,yin R Buktikan bahwa xleqslant y jika dan hanya jika untuk setiap varepsilon gt 0 y+2epsilon gt x

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih