v menja 11 persamaan normal hesse mulukan persamaan bidang datar melalui P(2,2,1) dan Q(9,3,6) serta tegak lurus bidang V: 2x+6y+6z=9 5. Tunjukkan bahwa titik A(-1,-2,-3),B(1,2,-5),C(6,-4,4) dan D(0,0,4) tidak sebidang 6. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(2,-3,-5) dan tegak lurus terhadap bidang V:6x=

1. Persamaan Bidangalui Dua Titik

Untuk menentukan persamaan bidang datar yang melalui dua titik \( P(2,2,1) \) dan \( Q(9,3,6) \), kita perlu mencari vektor normal \(\mathbf{n}\) dari bidang tersebut. Vektor normal dapat ditemukan dengan cross product dari vektor \(\overrightarrow}\).

\[
\overrightarrow{PQ} = (9-2, 3-2, 6-1) = (7, 1, 5)
\]

Menghitung cross product \(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PQ}\):

\[
\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PQ} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
7 & 1 & 5 \\
7 & 1 & 5
\end{vmatrix}
= (0, 0, 0)
\]

Karena hasil cross product adalah vektor nol menunjukkan bahwa kedua titik tersebut sebenarnya berada pada garis yang sama, bukan bidang datar. Oleh karena itu, tidak mungkin menentukan persamaan bidang datar yang melalui kedua titik tersebut.

2. Menunjukkan Empat Titik Tidak Sebidang

Untuk menunjukkan bahwa titik \( A(-1,-2,-3) \), \( B(1,2,-5) \), \( C(6,-4,4) \), dan \( D(0,0,4) \) tidak sebidang, kita dapat mencari vektor normal dari bidang yang dibentuk oleh tiga titik di antara keempat titik tersebut dan memeriksa apakah vektor normal ini konsisten dengan keempat titik.

Misalkan kita ambil tiga titik pertama: \( A \), \( B \), dan \( C \).

Menghitung vektor \(\overrightarrow{AB}\):

\[
\overrightarrow{AB} = (1 - (-1), 2 - (-2), -5 - (-3)) = (2, 4, -2)
\]

Menghitung vektor \(\overrightarrow{AC}\):

\[
\overrightarrow{AC} = (6 - (-1), -4 - (-2), 4 - (-3)) = (7, -2, 7)
\]

Menghitung cross product \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 4 & -2 \\
7 & -2 & 7
\end{vmatrix}
= (14, 14, 14)
\]

Vektor normal ini menunjukkan bahwa bidang yang dibentuk oleh titik \( A \), \( B \), dan \( C \) tidak sejajar dengan titik \( D \). Oleh karena itu, keempat titik tersebut tidak sebidang.

3. Persamaan Garis Tegak Lurus Terhadap Bidang

Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik \( A(2,-3,-5) \) dan tegak lurus terhadap bidang \( V: 2x + 6y + 6z = 9 \), kita perlu menemukan vektor arah garis tersebut. Vektor arah garis yang tegak lurus terhadap bidang \( V \) adalah vektor normal dari bidang \( V \).

Dari persamaan bidang \( V \), vektor normalnya adalah:

\[
\mathbf{n} = (2, 6, 6)
\]

Garis yang tegak lurus terhadap bidang \( V \) akan memiliki arah yang sama dengan vektor normal \(\mathbf{n}\). Maka, persamaan garis yang melalui titik \( A(2,-3,-5) \) dan memiliki arah \((2, 6, 6)\) adalah:

\[
\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{6} = \frac{z + 5}{6}
\]

Ini adalah persamaan garis yang dicari.