3. Budi mengkonsumsi dua macam barang, yaitu X dan Y. total kepuasan (TU) yang diperoleh dalam mengkonsumsi kedua macam barang tersebut ditunjukkan dalam persamaan; TU=10X+24Y-0,5X^2-0,5Y^2 TU adalah total kepuasan dalam mengkonsumsi barang X dan Y X adalah jumlah barang X yang dikonsumsi Y adalah jumlah barang Y yang dikonsumsi Harga barang X diketahui Rp.1 harga barang Y adalah Rp.4 dan anggaran yang tersedia untuk membeli barang X dan barang Y adalah Rp.50 Tentukan jumlah barang X dan jumlah barang Y harus dikonsumsi agar diperoleh kepuasan total maksimum. Tentukan kepuasan total yang dapat diperoleh dari konsumsi barang X dan barang Y.

Berikut langkah-langkah untuk menentukan jumlah barang X dan Y yang harus dikonsumsi agar diperoleh kepuasan total maksimum:

1. Menentukan Fungsi Kendala

Fungsi kendala menggambarkan batasan anggaran yang tersedia untuk membeli barang X dan Y. Dalam kasus ini, fungsi kendala adalah:

```
1X + 4Y = 50
```

2. Menentukan Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan adalah fungsi yang ingin kita maksimalkan, yaitu total kepuasan (TU). Dalam kasus ini, fungsi tujuan adalah:

```
TU = 10X + 24Y - 0.5X² - 0.5Y²
```

3. Mencari Titik Optimum

Untuk mencari titik optimum, kita perlu menggunakan metode Lagrange. Metode Lagrange digunakan untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan batasan tertentu.

Langkah-langkah metode Lagrange:

* Membentuk Fungsi Lagrange:
Fungsi Lagrange (L) dibentuk dengan menggabungkan fungsi tujuan (TU) dan fungsi kendala (g) dengan menggunakan pengali Lagrange (λ):

```
L = TU + λ(g)
L = 10X + 24Y - 0.5X² - 0.5Y² + λ(50 - X - 4Y)
```

* Mencari Turunan Parsial:
Hitung turunan parsial dari fungsi Lagrange terhadap X, Y, dan λ:

```
∂L/∂X = 10 - X - λ = 0
∂L/∂Y = 24 - Y - 4λ = 0
∂L/∂λ = 50 - X - 4Y = 0
```

* Memecahkan Sistem Persamaan:
Selesaikan sistem persamaan di atas untuk mendapatkan nilai X, Y, dan λ.

Dari persamaan pertama, kita dapatkan:
```
X = 10 - λ
```

Dari persamaan kedua, kita dapatkan:
```
Y = 24 - 4λ
```

Substitusikan nilai X dan Y ke dalam persamaan ketiga:
```
50 - (10 - λ) - 4(24 - 4λ) = 0
```

Selesaikan persamaan di atas untuk mendapatkan nilai λ:
```
λ = 2
```

Substitusikan nilai λ ke dalam persamaan X dan Y:
```
X = 10 - 2 = 8
Y = 24 - 4(2) = 16
```

4. Menentukan Kepuasan Total Maksimum

Substitusikan nilai X dan Y yang diperoleh ke dalam fungsi tujuan (TU):

```
TU = 10(8) + 24(16) - 0.5(8)² - 0.5(16)² = 160
```

Kesimpulan

Untuk memperoleh kepuasan total maksimum, Budi harus mengkonsumsi 8 unit barang X dan 16 unit barang Y. Kepuasan total yang dapat diperoleh dari konsumsi barang X dan Y adalah 160.