1. Sebuah partikel bergerak dalam bidang dua dimensi dengan posisi dinyatakan dalam sistem koordinat polar (r,Theta ) Posisi partikel sebagai fungsi waktu diberikan oleh: r(t)=3t^2+2, Theta (t)=(pi )/(4)t^2 dengan r dalam meter , t dalam detik, dan Theta dalam radian. (a) Tentukan komponen kecepatan partikel dalam arah radial (v_(r)) dan arah sudut (v_(Theta )) pada waktu t=2 detik. (b) Hitung besar kecepatan total partikel pada waktu t=2 detik. (c) Tentukan komponen percepatan partikel dalam arah radial (a_(r)) dan arah sudut (a_(Theta )) pada waktu t=2 detik. (d) Hitung besar percepatan total partikel pada waktu t=2 detik.

Question

Pertanyaan

1. Sebuah partikel bergerak dalam bidang dua dimensi dengan posisi dinyatakan dalam sistem koordinat polar (r,Theta ) Posisi partikel sebagai fungsi waktu diberikan oleh: r(t)=3t^2+2, Theta (t)=(pi )/(4)t^2 dengan r dalam meter , t dalam detik, dan Theta dalam radian. (a) Tentukan komponen kecepatan partikel dalam arah radial (v_(r)) dan arah sudut (v_(Theta )) pada waktu t=2 detik. (b) Hitung besar kecepatan total partikel pada waktu t=2 detik. (c) Tentukan komponen percepatan partikel dalam arah radial (a_(r)) dan arah sudut (a_(Theta )) pada waktu t=2 detik. (d) Hitung besar percepatan total partikel pada waktu t=2 detik.

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Berikut penyelesaian soal gerak partikel dalam koordinat polar:

a) Komponen kecepatan radial (v_r) dan sudut (v_θ) pada t = 2 detik

Kecepatan radial dan sudut dalam koordinat polar didefinisikan sebagai:

* v_r = dr/dt
* v_θ = r dθ/dt

Dari persamaan posisi yang diberikan:

r(t) = 3t² + 2
θ(t) = (π/4)t²

Kita cari turunannya terhadap waktu:

* dr/dt = 6t
* dθ/dt = (π/2)t

Pada t = 2 detik:

* v_r = 6(2) = 12 m/s
* v_θ = (3t² + 2)(π/2)(2) = (14)(π) = 14π m/s

Jadi, pada t = 2 detik, komponen kecepatan radial adalah 12 m/s dan komponen kecepatan sudut adalah 14π m/s.

b) Besar kecepatan total pada t = 2 detik

Besar kecepatan total (v) dihitung menggunakan teorema Pythagoras:

v = √(v_r² + v_θ²)

Pada t = 2 detik:

v = √(12² + (14π)²) ≈ √(144 + 196π²) ≈ √(144 + 1936.1) ≈ √2080.1 ≈ 45.61 m/s

Jadi, besar kecepatan total pada t = 2 detik adalah sekitar 45.61 m/s.

c) Komponen percepatan radial (a_r) dan sudut (a_θ) pada t = 2 detik

Komponen percepatan radial dan sudut dalam koordinat polar didefinisikan sebagai:

* a_r = d²r/dt² - r(dθ/dt)²
* a_θ = r(d²θ/dt²) + 2(dr/dt)(dθ/dt)

Kita telah menemukan dr/dt = 6t dan dθ/dt = (π/2)t. Selanjutnya kita cari turunan keduanya:

* d²r/dt² = 6
* d²θ/dt² = π/2

Pada t = 2 detik:

* a_r = 6 - (3(2)² + 2)((π/2)(2))² = 6 - 14π² ≈ 6 - 138.23 ≈ -132.23 m/s²
* a_θ = (3(2)² + 2)(π/2) + 2(6(2))((π/2)(2)) = 14(π/2) + 24π = 7π + 24π = 31π ≈ 97.39 m/s²

Jadi, pada t = 2 detik, komponen percepatan radial adalah sekitar -132.23 m/s² dan komponen percepatan sudut adalah sekitar 97.39 m/s².

d) Besar percepatan total pada t = 2 detik

Besar percepatan total (a) dihitung menggunakan teorema Pythagoras:

a = √(a_r² + a_θ²)

Pada t = 2 detik:

a = √((-132.23)² + (31π)²) ≈ √(17486.7 + 9566.2) ≈ √27052.9 ≈ 164.47 m/s²

Jadi, besar percepatan total pada t = 2 detik adalah sekitar 164.47 m/s².

Kesimpulan:

Pada t = 2 detik, partikel memiliki kecepatan sekitar 45.61 m/s dan percepatan sekitar 164.47 m/s². Perhatikan bahwa percepatan radial negatif, menunjukkan bahwa komponen percepatan radial mengarah ke arah pusat.

Pertanyaan

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih