. Hitung integral int _(0)^pi sin(Theta )-sqrt (Theta )dTheta Hitunoin tooral int ^3pi 3cos^2xsinxdx

Mari kita pecahkan kedua integral satu per satu.

Integral Pertama:

\(\int_{0}^{\pi} (\sin(\Theta) - \sqrt{\Theta}) \, d\Theta\)

Untuk menyelesaikan integral ini, kita akan memisahkan integral menjadi dua bagian:

\[
\int_{0}^{\pi} \sin(\Theta) \, d\Theta - \int_{0}^{\pi} \sqrt{\Theta} \, d\Theta
\]

Bagian 1: \(\int_{0}^{\pi} \sin(\Theta) \, d\Theta\)

Kita tahu bahwa integral dari \(\sin(\Theta)\) adalah \(-\cos(\Theta)\):

\[
\int \sin(\Theta) \, d\Theta = -\cos(\Theta)
\]

Evaluasi dari 0 hingga \(\pi\):

\[
\left[ -\cos(\Theta) \right]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2
\]

Bagian 2: \(\int_{0}^{\pi} \sqrt{\Theta} \, d\Theta\)

Kita bisa menulis \(\sqrt{\Theta}\) sebagai \(\Theta^{1/2}\). Integral dari \(\Theta^{1/2}\) adalah:

\[
\int \Theta^{1/2} \, d\Theta = \frac{2}{3} \Theta^{3/2}
\]

Evaluasi dari 0 hingga \(\pi\):

\[
\left[ \frac{2}{3} \Theta^{3/2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{3} (\pi)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} = \frac{2}{3} \pi^{3/2}
\]

Menggabungkan kedua hasil tersebut:

\[
\int_{0}^{\pi} (\sin(\Theta) - \sqrt{\Theta}) \, d\Theta = 2 - \frac{2}{3} \pi^{3/2}
\]

Integral Kedua:

\(\int_{0}^{3\pi} 3 \cos^2(x) \sin(x) \, dx\)

Kita dapat menggunakan substitusi trigonometri untuk menyederhanakan integral ini. Kita tahu bahwa:

\[
\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}
\]

Jadi, kita substitusikan ke dalam integral:

\[
\int_{0}^{3\pi} 3 \cos^2(x) \sin(x) \, dx = 3 \int_{0}^{3\pi} \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right) \sin(x) \, dx
\]

Sederhanakan:

\[
= \frac{3}{2} \int_{0}^{3\pi} (1 + \cos(2x)) \sin(x) \, dx
\]

Pisahkan integral:

\[
= \frac{3}{2} \left( \int_{0}^{3\pi} \sin(x) \, dx + \int_{0}^{3\pi} \cos(2x) \sin(x) \, dx \right)
\]

Bagian 1: \(\int_{0}^{3\pi} \sin(x) \, dx\)

Integral dari \(\sin(x)\) adalah \(-\cos(x)\):

\[
\int \sin(x) \, dx = -\cos(x)
\]

Evaluasi dari 0 hingga \(3\pi\):

\[
\left[ -\cos(x) \right]_{0}^{3\pi} = -\cos(3\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2
\]

Bagian 2: \(\int_{0}^{3\pi} \cos(2x) \sin(x) \, dx\)

Gunakan substitusi \(u = \sin(x)\), maka \(du = \cos(x) \, dx\):

\[
\int_{0}^{3\pi} \cos(2x) \sin(x) \, dx = \int_{0}^{\sin(3\pi)} u \, du
\]

Evaluasi dari 0 hingga \(\sin(3\pi