Contoh 9: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut: I 2_(log(24-3x))=3log(24-3x) 2 7log(x^2+5x-23)=5log(x^2+5x-23) 5_(log(5^x+5^1-x-5))=3log(5^x+5^1-x-5) Jawab:

Contoh 9:

Himpunan Penyelesaian Persamaan Logaritma

Berikut adalah solusi untuk persamaan logaritma yang diberikan:

1. $2_{log(24-3x)}=3log(24-3x)$

* Langkah 1: Sederhanakan persamaan dengan menggunakan sifat logaritma:
* $log_a b = c$ berarti $a^c = b$

Maka, persamaan menjadi:
* $(24-3x)^2 = (24-3x)^3$

* Langkah 2: Selesaikan persamaan:
* $(24-3x)^2 - (24-3x)^3 = 0$
* $(24-3x)^2 (1 - (24-3x)) = 0$
* $(24-3x)^2 (3x-23) = 0$

* Langkah 3: Tentukan nilai x yang memenuhi:
* $(24-3x)^2 = 0$ atau $3x-23 = 0$
* $x = 8$ atau $x = \frac{23}{3}$

* Langkah 4: Verifikasi solusi:
* Untuk $x = 8$, $24-3x = 0$, yang tidak memenuhi syarat logaritma (logaritma dari 0 tidak terdefinisi).
* Untuk $x = \frac{23}{3}$, $24-3x = 1$, yang memenuhi syarat logaritma.

* Kesimpulan: Himpunan penyelesaian dari persamaan $2_{log(24-3x)}=3log(24-3x)$ adalah {23/3}.

2. $7log(x^{2}+5x-23)=5log(x^{2}+5x-23)$

* Langkah 1: Sederhanakan persamaan:
* $7log(x^{2}+5x-23) - 5log(x^{2}+5x-23) = 0$
* $2log(x^{2}+5x-23) = 0$

* Langkah 2: Selesaikan persamaan:
* $log(x^{2}+5x-23) = 0$
* $x^{2}+5x-23 = 1$
* $x^{2}+5x-24 = 0$
* $(x+8)(x-3) = 0$

* Langkah 3: Tentukan nilai x yang memenuhi:
* $x = -8$ atau $x = 3$

* Langkah 4: Verifikasi solusi:
* Untuk $x = -8$, $x^{2}+5x-23 = 1$, yang memenuhi syarat logaritma.
* Untuk $x = 3$, $x^{2}+5x-23 = 1$, yang memenuhi syarat logaritma.

* Kesimpulan: Himpunan penyelesaian dari persamaan $7log(x^{2}+5x-23)=5log(x^{2}+5x-23)$ adalah {-8, 3}.

3. $5_{log(5^{x}+5^{1-x}-5)}=3log(5^{x}+5^{1-x}-5)$

* Langkah 1: Sederhanakan persamaan:
* $5_{log(5^{x}+5^{1-x}-5)} - 3log(5^{x}+5^{1-x}-5) = 0$
* $2log(5^{x}+5^{1-x}-5) = 0$

* Langkah 2: Selesaikan persamaan:
* $log(5^{x}+5^{1-x}-5) = 0$
* $5^{x}+5^{1-x}-5 = 1$
* $5^{x}+5^{1-x} = 6$

* Langkah 3: Selesaikan persamaan eksponensial:
* Misalkan $y = 5^x$, maka $5^{1-x} = \frac{5}{y}$
* Persamaan menjadi: $y + \frac{5}{y} = 6$
* $y^2 + 5 = 6y$
* $y^2 - 6y + 5 = 0$
* $(y-1)(y-5) = 0$
* $y = 1$ atau $y = 5$

* Langkah 4: Tentukan nilai x yang memenuhi:
* Jika $y = 1$, maka $5^x = 1$, sehingga $x = 0$.
* Jika $y = 5$, maka $5^x = 5$, sehingga $x = 1$.

* Langkah 5: Verifikasi solusi:
* Untuk $x = 0$, $5^{x}+5^{1-x}-5 = 1$, yang memenuhi syarat logaritma.
* Untuk $x = 1$, $5^{x}+5^{1-x}-5 = 1$, yang memenuhi syarat logaritma.

* Kesimpulan: Himpunan penyelesaian dari persamaan $5_{log(5^{x}+5^{1-x}-5)}=3log(5^{x}+5^{1-x}-5)$ adalah {0, 1}.

Catatan: Selalu verifikasi solusi untuk memastikan bahwa mereka memenuhi syarat logaritma (argumen logaritma harus positif).