4. Hitung integral int _(0)sin(Theta )-sqrt (Theta )dTheta 5. Hitung integral int _(2pi )^3pi 3cos^2xsinxdx

Integral Pertama
Hitung integral $\int _{0}^{1}\sin(\Theta )-\sqrt {\Theta }d\Theta $

Langkah 1: Pisahkan integral

$\int _{0}^{1}\sin(\Theta )d\Theta - \int _{0}^{1}\sqrt {\Theta }d\Theta $

Langkah 2: Hitung masing-masing integral

Untuk $\int _{0}^{1}\sin(\Theta )d\Theta$:

- Fungsi sinus memiliki batas antiderivatif yang diketahui, yaitu $-\cos(\Theta)$.
asi dari 0 hingga 1:

$[-\cos(\Theta)]_{0}^{1} = -\cos(1) - (-\cos(0)) = -\cos(1) + 1$

Untuk $\int _{0}^{1}\sqrt {\Theta }d\Theta$:

- Ubah $\sqrt{\Theta}$ menjadi $\Theta^{1/2}$.
- Gunakan aturan kekuatan integral: $\int \Theta^{n} d\Theta = \frac{\Theta^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int \Theta^{1/2} d\Theta = \frac{\Theta^{3/2}}{2} = \frac{2}{3} \Theta^{3/2}$.

- Evaluasi dari 0 hingga 1:

$\left[\frac{2}{3} \Theta^{3/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} (1)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^} = \frac{2}{3}$.

Langkah 3: Gabungkan hasil

$(-\cos(1) + 1) - \frac{2}{3} = 1 - \cos(1) - \frac{2}{3}$.

Jawaban: $\int _{0}^{1}\sin(\Theta )-\Theta }d\Theta = 1 - \cos(1) - \frac{2}{3}$.

Integral Kedua
Hitung integral $\int _{2\pi }^{3\pi }3\cos^{2}x\sin xdx$

Langkah 1: Gunakan identitas trigonometri

Gunakan identitas $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\int _{2\pi }^{3\pi }3\cos^{2}x\sin xdx = \int _{2\pi }^{3\pi }3\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)\sin xdx$

$= \frac{3}{2}\int _{pi }^{3\pi }(1 + \cos(2x))\sin xdx$

Langkah 2: Pisahkan integral

$\frac{3}{2}\int _{2\pi }^{3\pi }\sin xdx + \frac{3}{2}\int _{2\pi }^{3\pi }\cos(2x)\sin xdx$

Langkah 3: Hitung masing-masing integral

Untuk $\frac{3}{2}\int _{2\pi }^{3\pi }\sin xdx$:

- Integral dari $\sin x$ adalah $-\cos x$.

$\frac{3}{2}[-\cos x]_{2\pi}^{3\pi} = \frac{3}{2}(-\cos(3\pi) + \cos(2\pi)) = \frac{3}{2}(1 + 1) = 3$.

Untuk $\frac{3}{2}\int _{2\pi }^{3\pi }\cos()\sin xdx$:

- Gunakan substitusi $u = \sin x$, $du = \cos x dx$.

$\frac{3}{2}\int _{2\pi }^{3\pi }\cos(2x)\sin xdx = \frac{3}{2}\int _{2\pi }^{3\pi }u du$.

- Integral dari $u$ adalah $\frac{u^2}{2}$.

$\frac{3}{2}\left[\frac{u^2}{2}\right]_{2\pi}^{3\pi} = \frac{3}{2}\left[\frac{\sin^2 x}{2}\right]_{2}^{3\pi}$.

- Karena $\sin(2\pi) = 0$ dan $\sin(3