1. Tentukanlah solusi umum dari PD : y'-(y-1)cosx=0 2. Tentukanlah solusi umum dari PD non homogen : y''-10y'+25y=sin2x 3. Tentukanlah solusi umum dengan metode variasi parameter dari PD : y''+16y=4sec^24x 4. Tentukanlah solusi deret pangkat dalam x untuk PD : y''-2xy'+4y=0

Mari kita selesaikan setiap persamaan diferensial satu per satu.

1. Persamaan Diferensial (PD) Homogen:

\[ y' - (y - 1)\cos x = 0 \]

Ini adalah persamaan diferensial linear orde pertama. Kita bisa menyelesaikannya dengan metode substitusi. Misalkan \( v = y - 1 \), maka:
\[ y = v + 1 \]
\[ y' = v' + 0 = v' \]

Substitusikan ke dalam persamaan:
\[ v' - v\cos x = 0 \]
\[ v' = v\cos x \]

Ini adalah persamaan diferensial linear orde pertama yang dapat dipecahkan dengan pemisahan variabel:
\[ \frac{dv}{v} = \cos x \, dx \]
\[ \ln |v| = \sin x + C \]
\[ v = e^{\sin x + C} = Ce^{\sin x} \]

Karena \( v = y - 1 \):
\[ y - 1 = Ce^{\sin x} \]
\[ y = Ce^{\sin x} + 1 \]

Jadi, solusi umumnya adalah:
\[ y = Ce^{\sin x} + 1 \]

2. Persamaan Diferensial Non Homogen:

\[ y'' - 10y' + 25y = \sin 2x \]

Untuk menyelesaikan ini, kita mencari solusi homogen terlebih dahulu:
\[ y'' - 10y' + 25y = 0 \]

Ini adalah persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien konstan. Akar karakteristiknya adalah:
\[ r^2 - 10r + 25 = 0 \]
\[ (r - 5)^2 = 0 \]
\[ r = 5 \] (dengan multiplicitas 2).

Solusi homogen adalah:
\[ y_h = (C_1 + C_2 x)e^{5x} \]

Sekarang kita cari solusi partikular \( y_p \) untuk persamaan non homogen. Kita gunakan metode varians parameter. Misalkan:
\[ y_p = A \cos 2x + B \sin 2x \]

Turunkan dan masukkan ke dalam persamaan:
\[ y_p' = -2A \sin 2x + 2B \cos 2x \]
\[ y_p'' = -4A \cos 2x - 4B \sin 2x \]

Substitusikan \( y_p \), \( y_p' \), dan \( y_p'' \) ke dalam persamaan:
\[ (-4A \cos 2x - 4B \sin 2x) - 10(-2A \sin 2x + 2B \cos 2x) + 25(A \cos 2x + B \sin 2x) = \sin 2x \]

Sederhanakan:
\[ -4A \cos 2x - 4B \sin 2x + 20A \sin 2x - 20B \cos 2x + 25A \cos 2x + 25B \sin 2x = \sin 2x \]

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
\[ (21A - 4B - 20B) \cos 2x + (20A + 21B) \sin 2x = \sin 2x \]

Pisahkan menjadi dua persamaan:
\[ 21A - 24B = 0 \]
\[ 20A + 21B = 1 \]

Selesaikan sistem persamaan ini:
Dari persamaan pertama:
\[ 21A = 24B \]
\[ A = \frac{24B}{21} = \frac{8B}{7} \]

Masukkan ke persamaan kedua:
\[ 20 \left(\frac{8B}{7}\right) + 21B = 1 \]
\[ \frac{160B}{7} + 21B = 1 \]
\[ \frac{160B + 147B}{7} = 1 \]
\[ 307B = 7 \]
\[ B = \frac{7}{307} \]

Maka:
\[ A = \frac{8B}{7} = \frac{8 \cdot \frac{7}{307}}{7} = \frac{8}{307} \]

Jadi, solusi partikularnya adalah:
\[ y