2.Poin (25) Buktikan identitas Lagrange vert bar (u)times bar (v)vert ^-2=vert ^-2-2^2-(bar (u)cdot bar (v))^2 untuk vektor bar (u)=-hat (i)+hat (j)-2hat (k) dan bar (v)=2hat (i)-hat (j)

Question

Pertanyaan

2.Poin (25) Buktikan identitas Lagrange vert bar (u)times bar (v)vert ^-2=vert ^-2-2^2-(bar (u)cdot bar (v))^2 untuk vektor bar (u)=-hat (i)+hat (j)-2hat (k) dan bar (v)=2hat (i)-hat (j)

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

**

Identitas Lagrange \(\vert \bar{u} \times \bar{v} \vert^{-2} = \frac{1}{(\bar{u} \cdot \bar{v})^2}\) tidak terbukti untuk vektor \(\bar{u} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}\) dan \(\bar{v} = 2\hat{i} - \hat{j}\). Identitas ini tidak berlaku dalam kasus ini.

Answer 2

Untuk membuktikan identitas Lagrange, kita perlu menghitung beberapa nilai yang terkait dengan vektor \(\bar{u}\) dan \(\bar{v}\).

1. Menghitung \(\bar{u} \times \bar{v}\):

Vektor \(\bar{u} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}\) dan \(\bar{v} = 2\hat{i} - \hat{j}\).

Kita menggunakan rumus silang produk untuk dua vektor:

\[
\bar{u} \times \bar{v} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 0
\end{vmatrix}
\]

Menghitung determinan ini:

\[
\bar{u} \times \bar{v} = \hat{i}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) - \hat{j}(-1 \cdot 0 - (-2) \cdot 2) + \hat{k}(-1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2)
\]

\[
= \hat{i}(0 - 2) - \hat{j}(0 - (-4)) + \hat{k}(1 - 2)
\]

\[
= -2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}
\]

Jadi, \(\bar{u} \times \bar{v} = -2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}\).

2. Menghitung \(\vert \bar{u} \times \bar{v} \vert\):

Panjang vektor \(\bar{u} \times \bar{v}\) adalah:

\[
\vert \bar{u} \times \bar{v} \vert = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}
\]

3. Menghitung \((\bar{u} \cdot \bar{v})^2\):

Produk titik dari \(\bar{u}\) dan \(\bar{v}\) adalah:

\[
\bar{u} \cdot \bar{v} = (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 0 = -2 - 1 + 0 = -3
\]

Jadi, \((\bar{u} \cdot \bar{v})^2 = (-3)^2 = 9\).

4. Verifikasi identitas Lagrange:

Menurut identitas Lagrange:

\[
\vert \bar{u} \times \bar{v} \vert^{-2} = \frac{1}{(\bar{u} \cdot \bar{v})^2}
\]

Kita sudah tahu bahwa \(\vert \bar{u} \times \bar{v} \vert = \sqrt{21}\), sehingga:

\[
\vert \bar{u} \times \bar{v} \vert^{-2} = \left(\sqrt{21}\right)^{-2} = \frac{1}{21}
\]

Dan kita juga tahu bahwa \((\bar{u} \cdot \bar{v})^2 = 9\), sehingga:

\[
\frac{1}{(\bar{u} \cdot \bar{v})^2} = \frac{1}{9}
\]

Karena \(\frac{1}{21} \neq \frac{1}{9}\), maka identitas Lagrange tidak terpenuhi untuk vektor \(\bar{u}\) dan \(\bar{v}\) yang diberikan.

Pertanyaan

2.Poin (25) Buktikan identitas Lagrange vert bar (u)times bar (v)vert ^-2=vert ^-2-2^2-(bar (u)cdot bar (v))^2 untuk vektor bar (u)=-hat (i)+hat (j)-2hat (k) dan bar (v)=2hat (i)-hat (j)

Jawaban

Penjelasan

Pertanyaan Panas lebih