Sebuah perusahaan sedang mengevaluasi waktu respon server mereka untuk meningkatkan kualitas layanan. Berdasarkan data dari 1.000 permintaan, diketahui bahwa waktu respon rata-rata server adalah 200 ms dengan standar deviasi 25 ms. Asumsikan data waktu respon ini mengikuti distribusi normal. (a) Berapa probabilitas bahwa waktu respon kurang dari 230 ms? (b) Berapa probabilitas bahwa waktu respon antara 194 ms sampai 230 ms? (c) Jika perusahaan ingin memastikan permintaan diproses dalam waktu kurang 230 ms, dugalan nilai tersebut dengan tingkat keyakinan 90%

Berikut adalah solusi untuk pertanyaan Anda:

(a) Probabilitas waktu respon kurang dari 230 ms

Kita perlu menghitung probabilitas $P(X < 230)$, di mana $X$ adalah variabel acak yang mewakili waktu respon server. Karena waktu respon mengikuti distribusi normal, kita dapat menstandarkan variabel $X$ dengan rumus:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

di mana $\mu$ adalah rata-rata dan $\sigma$ adalah standar deviasi.

Dalam kasus ini, $\mu = 200$ ms dan $\sigma = 25$ ms. Maka, kita dapat menghitung nilai $Z$ untuk $X = 230$ ms:

$$Z = \frac{230 - 200}{25} = 1.2$$

Sekarang kita perlu mencari probabilitas $P(Z < 1.2)$ menggunakan tabel distribusi normal standar. Dari tabel, kita temukan bahwa $P(Z < 1.2) = 0.8849$.

Jadi, probabilitas waktu respon kurang dari 230 ms adalah 0.8849.

(b) Probabilitas waktu respon antara 194 ms sampai 230 ms

Kita perlu menghitung probabilitas $P(194 < X < 230)$. Kita dapat menstandarkan nilai batas bawah dan atas:

$$Z_1 = \frac{194 - 200}{25} = -0.24$$

$$Z_2 = \frac{230 - 200}{25} = 1.2$$

Sekarang kita perlu mencari probabilitas $P(-0.24 < Z < 1.2)$. Dari tabel distribusi normal standar, kita temukan bahwa:

$$P(Z < 1.2) = 0.8849$$

$$P(Z < -0.24) = 0.4052$$

Maka, probabilitas waktu respon antara 194 ms sampai 230 ms adalah:

$$P(-0.24 < Z < 1.2) = P(Z < 1.2) - P(Z < -0.24) = 0.8849 - 0.4052 = \boxed{0.4797}$$

(c) Dugalan nilai waktu respon dengan tingkat keyakinan 90%

Tingkat keyakinan 90% berarti kita ingin mencari nilai waktu respon yang akan dilampaui oleh 90% data. Ini setara dengan mencari nilai $X$ yang memenuhi persamaan:

$$P(X < x) = 0.9$$

Kita dapat menggunakan tabel distribusi normal standar untuk mencari nilai $Z$ yang memenuhi $P(Z < z) = 0.9$. Dari tabel, kita temukan bahwa $z = 1.28$.

Sekarang kita dapat menggunakan rumus standar untuk menghitung nilai $X$:

$$x = \mu + z \sigma = 200 + 1.28 \times 25 = \boxed{232}$$

Jadi, dengan tingkat keyakinan 90%, perusahaan dapat memastikan bahwa waktu respon server akan kurang dari 232 ms.