1. Misalkan diberikan persamaan diferensial parsial orde -2 berikut : 4U_(xx)+4U_(xy)+U_(yy)=0 Maka a. [10 poin] Tentukan tipe dari persamaan diferensial tersebut! b. [25 poin] Konstruksi bentuk normal dari persamaan tersebut! Kemudian c. [15 poin] Apabila diberikan syarat nilai awal yaitu U(x,0)=sqrt (x) dengan xgt 0, tentukanlah solusi khusus dari PDP tersebut!

a. Persamaan diferensial tersebut adalah persamaan gelombang. Persamaan gelombang adalah persamaan diferensial parsial orde dua yang melibatkan turunan kedua dari fungsi dan bisa ditulis dalam bentuk $a\nabla^2U + b\nablaU + cU = 0$, dimana $\nabla^2$ adalah operator Laplace, $\nabla$ adalah operator gradian, dan $U$ adalah fungsi gelombang. Dalam hal ini, $a=4$, $b=4$, dan $c=1$, sehingga persamaan tersebut adalah persamaan gelombang.

b. Untuk mengkonstruksi bentuk normal dari persamaan tersebut, kita perlu menulis ulang persamaan dalam bentuk standar persamaan gelombang. Pertama, kita ubah persamaan menjadi $4U_{xx} + 4U_{xy} + U_{yy} = 0$ menjadi $(D^2 + \sqrt{3}D + 1)U = 0$, dimana $D = \frac{\partial}{\partial x}$ dan $D^2 = \frac{\partial^2}{\partial x}$. Kemudian, kita cari solusi dalam bentuk $U(x,t) = (Ae^{i\alpha x} + Be^{-i\alpha x})e^{i\beta t}$, dimana $\alpha$ dan $\beta$ adalah konstanta yang akan kita tentukan. Substitusikan $U$ ke dalam persamaan, kita dapatkan $(D^2 + \sqrt{3}D + 1)(Ae^{i\alpha x} + Be^{-i\alpha x})e^{i\beta t} = 0$. Dengan membandingkan koefisien, kita dapatkan $\alpha^2 - \sqrt{3}\alpha + 1 = 0$ dan $\beta^2 = \alpha^2$. Solusi dari persamaan ini adalah $\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ dan $\beta = \pm \sqrt{\alpha^2}$. Jadi, bentuk normal dari persamaan tersebut adalah $U(x,t) = (Ae^{i\alpha x} + Be^{-i\alpha x})e^{i\beta t}$.

c. Dengan syarat nilai awal $U(x,0) = \sqrt{x}$, kita dapatkan $U(x,0) = (Ae^{i\alpha x} + Be^{-i\alpha x}) = \sqrt{x}$. Dengan membandingkan koefisien, kita dapatkan $A = \frac{1}{2}e^{-i\alpha x}$ dan $B = \frac{1}{2}e^{i\alpha x}$. Jadi, solusi khusus dari PDP tersebut adalah $U(x,t) = \frac{1}{2}(e^{i\alpha x} + e^{-i\alpha x})e^{i\beta t} = \frac{1}{2}(cos(\alpha x) + isin(\alpha x))e^{i\beta t}$.