4. Hitung integral int _(0)^pi sin(Theta )-sqrt (Theta )dTheta 5. Hitung integral int _(2pi )^3pi 3cos^2xsinxdx

Mari kita hitung integral yang diberikan satu per satu.

Soal 4:

Hitung integral $\int _{0}^{\pi }sin(\Theta )-\sqrt {\Theta }d\Theta $

Untuk menghitung integral ini, kita akan memisahkan fungsi menjadi dua bagian dan mengintegrasikannya secara terpisah:

\[
\int_{0}^{\pi} (\sin(\Theta) - \sqrt{\Theta}) \, d\Theta = \int_{0}^{\pi} \sin(\Theta) \, d\Theta - \int_{0}^{\pi} \sqrt{\Theta} \, d\Theta
\]

Langkah 1: Menghitung $\int_{0}^{\pi} \sin(\Theta) \, d\Theta$

Kita tahu bahwa integral dari $\sin(\Theta)$ adalah $-\cos(\Theta)$. Maka:

\[
\int_{0}^{\pi} \sin(\Theta) \, d\Theta = [-\cos(\Theta)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2
\]

Langkah 2: Menghitung $\int_{0}^{\pi} \sqrt{\Theta} \, d\Theta$

Kita bisa menulis $\sqrt{\Theta}$ sebagai $\Theta^{1/2}$. Integral dari $\Theta^{1/2}$ adalah $\frac{2}{3} \Theta^{3/2}$. Maka:

\[
\int_{0}^{\pi} \sqrt{\Theta} \, d\Theta = \int_{0}^{\pi} \Theta^{1/2} \, d\Theta = \left[ \frac{2}{3} \Theta^{3/2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{3} (\pi^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{2}{3} \pi^{3/2}
\]

Langkah 3: Menggabungkan hasilnya

\[
\int_{0}^{\pi} (\sin(\Theta) - \sqrt{\Theta}) \, d\Theta = 2 - \frac{2}{3} \pi^{3/2}
\]

Jadi, hasil integralnya adalah:

\[
\boxed{2 - \frac{2}{3} \pi^{3/2}}
\]

Soal 5:

Hitung integral $\int _{2\pi }^{3\pi }3cos^{2}xsinxdx$

Untuk menghitung integral ini, kita akan menggunakan substitusi trigonometri dan identitas trigonometri.

Langkah 1: Menggunakan identitas trigonometri

Kita tahu bahwa $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Maka:

\[
3 \cos^2(x) \sin(x) = 3 \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right) \sin(x) = \frac{3}{2} (1 + \cos(2x)) \sin(x)
\]

Langkah 2: Menghitung integral

\[
\int_{2\pi}^{3\pi} \frac{3}{2} (1 + \cos(2x)) \sin(x) \, dx = \frac{3}{2} \int_{2\pi}^{3\pi} (1 + \cos(2x)) \sin(x) \, dx
\]

Kita bisa memisahkan integral ini menjadi dua bagian:

\[
= \frac{3}{2} \left( \int_{2\pi}^{3\pi} \sin(x) \, dx + \int_{2\pi}^{3\pi} \cos(2x) \sin(x) \, dx \right)
\]

Langkah 3: Menghitung $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin(x) \, dx$

Integral dari $\sin(x)$ adalah $-\cos(x)$. Maka:

\[
\int_{2\pi}^{3\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_{2\pi}^{3\pi} = -\cos(3\pi) + \cos(2\pi) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2
\]

**Langkah 4: Menghitung $\int_{2\pi}^{3\pi} \cos(2x) \sin