5. Hitung integral int _(2pi )^3pi 3cos^2xsinxdx

Untuk menghitung integral $\int _{2\pi }^{3\pi }3\cos^{2}x\sin xdx$, kita dapat menggunakan metode substitusi. Pertama, kita akan menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi di dalam integral. Identitas yang relevan adalah $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Dengan demikian, kita dapat menulis ulang integral sebagai berikut:\[\int 3\cos^{2}x\sin xdx = \int 3\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)\sin xdx = \frac{3}{2}\int (1 + \cos(2x))\sin xdx\]Selanjutnya, kita akan menggunakan metode substitusi. Kita letakkan $u = \sin x$, sehingga $du = \cos x dx$. Dengan demikian, integral tersebut menjadi:\[\frac{3}{2}\int (1 + \cos(2x))\sin xdx = \frac{3}{2}\int (1 + \cos(2x))du\]Sekarang kita dapat mengintegrasikan setiap bagian secara terpisah:\[\frac{3}{2}\int (1 + \cos(2x))du = \frac{3}{2}\left(\int du + \int \cos(2x)du\right) = \frac{3}{2}\left(u + \frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C\]Kita tidak perlu menambahkan konstanta integrasi $C$ karena kita akan mengevaluasi integral ini pada batas $2\pi$ dan $3\pi$. Menggantikan $u$ kembali dengan $\sin x$, kita mendapatkan:\[\frac{3}{2}\left(\sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)\right)\]Sekarang kita evaluasi ini pada batas $2\pi$ dan $3\pi$:\[\left[\frac{3}{2}\left(\sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)\right)\right]_{2\pi}^{3\pi} = \frac{3}{2}\left(\sin(3\pi) + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\pi)\right) - \frac{3}{2}\left(\sin(2\pi) + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\pi)\right)\]Karena $\sin(n\pi) = 0$ untuk setiap bilangan bulat $n$, kita mendapatkan:\[\frac{3}{2}\left(0 + \frac{1}{2}\sin(6\pi)\right) - \frac{3}{2}\left(0 + \frac{1}{2}\sin(4\pi)\right) = \frac{3}{2}\left(0 + 0\right) - \frac{3}{2}\left(0 + 0\right) = 0\]Jadi, nilai dari integral $\int _{2\pi }^{3\pi }3\cos^{2}x\sin xdx$ adalah $\boxed{0}$.