5. Sebuah objek berjalan sepanjang suatu garis koordinat menurut percepatan a (dalam cm/s^2 dengan kecepatan awal v_(0)(dalamcm/s) dan jarak S_(0) (dalam cm) tentukan kecepatan v beserta jarak berarah s setelah 2 detik. a a=t,v_(0)=2,s_(0)=0 b a=sqrt [3](2t+1),v_(0)=0,s_(0)=10

Berikut penyelesaian untuk soal tersebut:

Konsep Dasar:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami hubungan antara percepatan (a), kecepatan (v), dan jarak (s) dalam gerak satu dimensi. Hubungannya dirumuskan sebagai berikut:

* Percepatan: a = dv/dt (percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu)
* Kecepatan: v = ds/dt (kecepatan adalah turunan jarak terhadap waktu)
* Integrasi: Untuk mendapatkan kecepatan dari percepatan, kita perlu mengintegralkan percepatan terhadap waktu. Untuk mendapatkan jarak dari kecepatan, kita perlu mengintegralkan kecepatan terhadap waktu.

Penyelesaian:

a) a = t, v₀ = 2 cm/s, s₀ = 0 cm

1. Mencari kecepatan (v):

Kita tahu a = dv/dt = t. Untuk mencari v, kita integralkan a terhadap t:

∫dv = ∫t dt

v = (1/2)t² + C₁

Untuk mencari konstanta integrasi C₁, kita gunakan kondisi awal v₀ = 2 cm/s saat t = 0:

2 = (1/2)(0)² + C₁ => C₁ = 2

Jadi, persamaan kecepatannya adalah: v(t) = (1/2)t² + 2

Kecepatan saat t = 2 detik: v(2) = (1/2)(2)² + 2 = 4 cm/s

2. Mencari jarak (s):

Kita tahu v = ds/dt = (1/2)t² + 2. Untuk mencari s, kita integralkan v terhadap t:

∫ds = ∫((1/2)t² + 2) dt

s = (1/6)t³ + 2t + C₂

Untuk mencari konstanta integrasi C₂, kita gunakan kondisi awal s₀ = 0 cm saat t = 0:

0 = (1/6)(0)³ + 2(0) + C₂ => C₂ = 0

Jadi, persamaan jaraknya adalah: s(t) = (1/6)t³ + 2t

Jarak saat t = 2 detik: s(2) = (1/6)(2)³ + 2(2) = (8/6) + 4 = 22/3 cm ≈ 7.33 cm


b) a = ³√(2t + 1), v₀ = 0 cm/s, s₀ = 10 cm

1. Mencari kecepatan (v):

Kita tahu a = dv/dt = ³√(2t + 1) = (2t + 1)^(1/3). Untuk mencari v, kita integralkan a terhadap t:

∫dv = ∫(2t + 1)^(1/3) dt

Kita gunakan substitusi: u = 2t + 1, du = 2dt

v = (1/2) ∫u^(1/3) du = (1/2) * (3/4)u^(4/3) + C₃ = (3/8)(2t + 1)^(4/3) + C₃

Karena v₀ = 0 saat t = 0:

0 = (3/8)(1)^(4/3) + C₃ => C₃ = -3/8

Jadi, persamaan kecepatannya adalah: v(t) = (3/8)(2t + 1)^(4/3) - 3/8

Kecepatan saat t = 2 detik: v(2) = (3/8)(5)^(4/3) - 3/8 ≈ 2.26 cm/s

2. Mencari jarak (s):

Kita tahu v = ds/dt = (3/8)(2t + 1)^(4/3) - 3/8. Untuk mencari s, kita integralkan v terhadap t:

∫ds = ∫((3/8)(2t + 1)^(4/3) - 3/8) dt

s = (3/8) * (3/14)(2t + 1)^(7/3) - (3/8)t + C₄

Karena s₀ = 10 saat t = 0:

10 = (9/112)(1)^(7/3) + C₄ => C₄ = 10 - 9/112 ≈ 9.92 cm

Jadi, persamaan jaraknya adalah: s(t) = (9/112)(2t + 1)^(7/3) - (3/8)t + 9.92

Jarak saat t = 2 detik: s(2) = (9/112)(5)^(7/3) - (3/8)(2) + 9.92 ≈ 12.67 cm


Kesimpulan:

* a): Kecepatan pada t=2 detik adalah 4 cm/s, dan jaraknya adalah 22/3 cm ≈ 7.33 cm.
* b): Kecepatan pada t=2 detik adalah sekitar 2.26 cm/s, dan jaraknya adalah sekitar 12.67 cm.


Perlu diingat bahwa hasil perhitungan di bagian (b) melibatkan perhitungan numerik karena integralnya tidak menghasilkan solusi analitik sederhana. Nilai-nilai yang diberikan adalah perkiraan.