3. A=[} 1&0&0&-1 3&1&2&2 1&0&-2&1 2&0&0&1 ] menggunakan metode reduksi

Berikut adalah langkah-langkah untuk mereduksi matriks $A$ menggunakan metode reduksi baris:

Langkah 1: Buat matriks augmented dengan menambahkan vektor identitas $I_4$ di sebelah kanan matriks $A$.

$$
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
$$

Langkah 2: Lakukan operasi baris elementer untuk mengubah matriks $A$ menjadi matriks identitas. Operasi baris elementer yang diizinkan adalah:

* Menukar dua baris.
* Mengalikan baris dengan konstanta non-nol.
* Menambahkan kelipatan dari satu baris ke baris lain.

Langkah 3: Lakukan operasi baris elementer berikut:

* Kurangi 3 kali baris pertama dari baris kedua.
* Kurangi baris pertama dari baris ketiga.
* Kurangi 2 kali baris pertama dari baris keempat.

$$
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 5 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -2 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
$$

Langkah 4: Bagi baris keempat dengan 3.

$$
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 5 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{array} \right]
$$

Langkah 5: Tambahkan baris keempat ke baris pertama.

$$
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\
0 & 1 & 2 & 5 & -3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{array} \right]
$$

Langkah 6: Kurangi 5 kali baris keempat dari baris kedua.

$$
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\
0 & 1 & 2 & 0 & -\frac{1}{3} & 1 & 0 & -\frac{5}{3} \\
0 & 0 & -2 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{array} \right]
$$

Langkah 7: Kurangi 2 kali baris keempat dari baris ketiga.

$$
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\
0 & 1 & 2 & 0 & -\frac{1}{3} & 1 & 0 & -\frac{5}{3} \\
0 & 0 & -2 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 1 & -\frac{2}{3} \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{array} \right]
$$

Langkah 8: Bagi baris ketiga dengan -2.

$$
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\
0 & 1 & 2 & 0 & -\frac{1}{3} & 1 & 0 & -\frac{5}{3} \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{array} \right]
$$

Langkah 9: Kurangi 2 kali baris ketiga dari baris kedua.

$$
\left[ \begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 1 & 1 & -\frac{7}{3} \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{array} \right]
$$

Sekarang matriks $A$ telah direduksi menjadi matriks identitas, dan matriks di sebelah kanan adalah invers dari $A$. Jadi, invers dari $A$ adalah:

$$
A^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc}
\frac{1}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{6} & 1 & 1 & -\frac{7}{3} \\
-\frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
-\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3}
\end{array} \right]
$$