3) Fungsi produksi Z=20-X^2+10X-2Y^2+5Y Dengan harga input X dan Y masing masing 2 dan 1 , serta harga output Z=5 . Tentukan keuntungan maksimun dengan multiplier lagrange.

Question

Pertanyaan

3) Fungsi produksi Z=20-X^2+10X-2Y^2+5Y Dengan harga input X dan Y masing masing 2 dan 1 , serta harga output Z=5 . Tentukan keuntungan maksimun dengan multiplier lagrange.

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk menentukan keuntungan maksimum dengan menggunakan multiplier Lagrange, kita perlu mengikuti langkah berikut:

1. Fungsi Lagrange:
Kita memiliki fungsi produksi \( Z = 20 - X^2 + 10X - 2Y^2 + 5Y \) dan kita ingin memaksimalkan keuntungan. Keuntungan (\( \pi \)) dapat dinyatakan sebagai:
\[
\pi = P \cdot Z - C(X, Y)
\]
Di mana \( P(Z) \) adalah harga output dan \( C(X, Y) \) adalah biaya input.

Diketahui:
- Harga output \( Z = 5 \)
- Harga input \( X = 2 \)
- Harga input \( Y = 1 \)

Maka, keuntungan menjadi:
\[
\pi = 5Z - (2X + Y)
\]

2. Membentuk Fungsi Lagrange:
Kita tambahkan multiplier Lagrange (\( \lambda \)) untuk memastikan bahwa kita memenuhi batasan biaya. Fungsi Lagrange adalah:
\[
\mathcal{L} = 5 (2X + Y) + \lambda (2X + Y - C)
\]
Karena \( C = 2X + Y \), maka:
\[
\mathcal{L} = 5Z - (2X + Y) + \lambda (2X + Y - (2X + Y)) = 5Z - (2X + Y)
\]

3. Menghitung Turunan Pertama:
Untuk memaksimalkan keuntungan, kita harus mencari turunan pertama dari \( \mathcal{L} \) terhadap \( X \) dan \( Y \), lalu samakan dengan nol.

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X} = -2 + 2 = 0
\]
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Y} = -1 + \lambda = 0
\]

4. Menyelesaikan Persamaan:
Dari turunan pertama, kita dapatkan:
\[
-2 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = 1
\]
\[
-1 + \lambda = 0 \implies \lambda = 1
\]

Kedua persamaan konsisten dengan \( \lambda = 1 \).

5. Substitusi Kembali:
Dengan \( \lambda = 1 \), kita substitusikan kembali ke dalam fungsi produksi untuk menemukan nilai \( X \) dan \( Y \) yang memaksimalkan keuntungan.

Dari \( -2 + 2\lambda = 0 \):
\[
-2 + 2(1) = 0 \implies X = 1
\]

Dari \( -1 + \lambda = 0 \):
\[
-1 + 1 = 0ies Y = 1
\]

6. Menghitung Keuntungan Maksimum:
Substitusikan \( X = 1 \) dan \( Y = 1 \) ke dalam fungsi produksi \( Z \):
\[
Z = 20 - (1)^2 + 10(1) - 2(1)^2 + 5( = 20 - 1 + 10 - 2 + 5 = 32
\]

Maka, keuntungan maksimum adalah:
\[
\pi = 5Z - (2X + Y) = 5(32) - (2(1) + 1) = 160 - 3 = 157
\]

Jadi, keuntungan maksimum adalah 157.

Pertanyaan

3) Fungsi produksi Z=20-X^2+10X-2Y^2+5Y Dengan harga input X dan Y masing masing 2 dan 1 , serta harga output Z=5 . Tentukan keuntungan maksimun dengan multiplier lagrange.

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih