misalkan NIM=202165090047 maka 202165090047 a=2,b=6,c=5,d=9,e=4,f=7 1. Diberikan matriks A dan B sebagai berikut A=[} a&e&b+c d&b&-a e&3f&c Tentukan x, y, dan z, jika A=B (POIN 20) 2. Diberikan vektor u=(a,-b,c) dan vektor v=(d,-e,f) a. Tentukan Vert uVert +Vert vVert dan Vert u+vVert (POIN 10) b. Tentukan hasil kali titik ucdot v (POIN 15) c. Tentukan cosinus dari sudut yang dibentuk u dan v. (POIN 15) d. Tentukan proy u dan komponen u yang orthogonal terhadap v. (POIN 20) e. Tentukan hasil kali silang utimes v (POIN 20)

1. Menentukan x, y, dan z jika A = B

Diketahui:

$A = \begin{bmatrix} a & e & b+c \\ d & b & -a \\ e & 3f & c \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} a & y+1 & e \\ e & b & 2z \\ x+y & -a & c \end{bmatrix}^T$

Karena A = B, maka matriks A sama dengan transpos matriks B. Transpos matriks B adalah:

$B^T = \begin{bmatrix} a & e & x+y \\ y+1 & b & -a \\ e & 2z & c \end{bmatrix}$

Dengan membandingkan elemen-elemen matriks A dan $B^T$, kita peroleh:

* Elemen (1,1): a = a (sudah sama)
* Elemen (1,2): e = e (sudah sama)
* Elemen (1,3): b + c = x + y
* Elemen (2,1): d = y + 1 => y = d - 1 = 9 - 1 = 8
* Elemen (2,2): b = b (sudah sama)
* Elemen (2,3): -a = -a (sudah sama)
* Elemen (3,1): e = e (sudah sama)
* Elemen (3,2): 3f = 2z => z = (3f)/2 = (3*7)/2 = 21/2 = 10.5
* Elemen (3,3): c = c (sudah sama)

Substitusi nilai y ke persamaan b + c = x + y:

6 + 5 = x + 8
x = 11 - 8 = 3

Jadi, nilai x, y, dan z adalah:

* x = 3
* y = 8
* z = 10.5


2. Vektor u dan v

Diketahui: u = (a, -b, c) = (2, -6, 5) dan v = (d, -e, f) = (9, -4, 7)

a. ||u|| + ||v|| dan ||u + v||

||u|| = √(a² + (-b)² + c²) = √(2² + (-6)² + 5²) = √(4 + 36 + 25) = √65
||v|| = √(d² + (-e)² + f²) = √(9² + (-4)² + 7²) = √(81 + 16 + 49) = √146
||u|| + ||v|| = √65 + √146 ≈ 8.06 + 12.08 ≈ 20.14

u + v = (a+d, -b-e, c+f) = (11, -2, 12)
||u + v|| = √(11² + (-2)² + 12²) = √(121 + 4 + 144) = √269 ≈ 16.4

b. Hasil kali titik u ⋅ v

u ⋅ v = ad + (-b)(-e) + cf = (2)(9) + (-6)(-4) + (5)(7) = 18 + 24 + 35 = 77

c. Cosinus sudut antara u dan v

cos θ = (u ⋅ v) / (||u|| ||v||) = 77 / (√65 * √146) ≈ 77 / 97.7 ≈ 0.789

d. Proyeksi u pada v dan komponen u yang ortogonal terhadap v

Proyeksi u pada v: proj_vu = [(u ⋅ v) / ||v||²] * v = [77 / 146] * (9, -4, 7) ≈ (4.74, -2.10, 3.71)

Komponen u yang ortogonal terhadap v: u - proj_vu = (2, -6, 5) - (4.74, -2.10, 3.71) ≈ (-2.74, -3.90, 1.29)


e. Hasil kali silang u × v

u × v = i( (-b)(f) - (c)(-e) ) - j( (a)(f) - (c)(d) ) + k( (a)(-e) - (-b)(d) )
u × v = i((-6)(7) - (5)(-4)) - j((2)(7) - (5)(9)) + k((2)(-4) - (-6)(9))
u × v = i(-42 + 20) - j(14 - 45) + k(-8 + 54)
u × v = -22i + 31j + 46k = (-22, 31, 46)


Semoga jawaban ini membantu! Ingatlah untuk selalu memeriksa kembali perhitungan Anda.