Ujung seutas tali mengalami getaran harmonik dengan periode 0,5 detik. Gelombang yang terbentuk memiliki amplitudo 6 cm . Gelombang ini merambat sepanjang tali ke arah kanan dengan kecepatan rambat 200cm/s Tentukan (a) persamaan umum gelombang tersebut, (b)simpangan dan sudut fase partikel di titik P yang bcrada 27 ,5 cm dari ujung tali yang digetarkan pada saat 0,2 detik, (c) kecepatan dan percepatan di titik P pada 0 ,2 detik.

Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan soal tersebut:

(a) Persamaan Umum Gelombang

Persamaan umum gelombang harmonik dapat ditulis sebagai:

$$y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$$

Dimana:

* $y(x,t)$ adalah simpangan gelombang pada posisi $x$ dan waktu $t$
* $A$ adalah amplitudo gelombang
* $k$ adalah bilangan gelombang ($k = 2\pi/\lambda$)
* $\omega$ adalah frekuensi sudut ($\omega = 2\pi f$)
* $\phi$ adalah sudut fase awal

Kita perlu menentukan nilai-nilai $A$, $k$, $\omega$, dan $\phi$ untuk mendapatkan persamaan umum gelombang.

* Amplitudo (A): Diketahui $A = 6 \text{ cm}$.
* Frekuensi Sudut (ω): Periode gelombang $T = 0,5 \text{ s}$, sehingga frekuensi $f = 1/T = 2 \text{ Hz}$. Frekuensi sudut $\omega = 2\pi f = 4\pi \text{ rad/s}$.
* Bilangan Gelombang (k): Kecepatan rambat gelombang $v = 200 \text{ cm/s}$. Kita tahu bahwa $v = f\lambda$, sehingga panjang gelombang $\lambda = v/f = 100 \text{ cm}$. Bilangan gelombang $k = 2\pi/\lambda = \pi/50 \text{ rad/cm}$.
* Sudut Fase Awal (φ): Karena ujung tali digetarkan pada saat $t = 0$, maka sudut fase awal $\phi = 0$.

Dengan demikian, persamaan umum gelombang adalah:

$$y(x,t) = 6 \sin(\frac{\pi}{50}x - 4\pi t)$$

(b) Simpangan dan Sudut Fase di Titik P

Titik P berada pada jarak $x = 27,5 \text{ cm}$ dari ujung tali yang digetarkan. Pada saat $t = 0,2 \text{ s}$, simpangan titik P adalah:

$$y(27,5, 0,2) = 6 \sin(\frac{\pi}{50}(27,5) - 4\pi (0,2))$$

$$y(27,5, 0,2) = 6 \sin(\frac{11\pi}{20} - \frac{4\pi}{5})$$

$$y(27,5, 0,2) = 6 \sin(\frac{3\pi}{20})$$

$$y(27,5, 0,2) \approx 4,5 \text{ cm}$$

Sudut fase titik P pada saat $t = 0,2 \text{ s}$ adalah:

$$\theta = \frac{\pi}{50}(27,5) - 4\pi (0,2) = \frac{3\pi}{20} \text{ rad}$$

(c) Kecepatan dan Percepatan di Titik P

Kecepatan partikel pada titik P dapat diperoleh dengan menurunkan persamaan simpangan terhadap waktu:

$$v(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = -24\pi \cos(\frac{\pi}{50}x - 4\pi t)$$

Pada saat $t = 0,2 \text{ s}$ dan $x = 27,5 \text{ cm}$, kecepatan partikel di titik P adalah:

$$v(27,5, 0,2) = -24\pi \cos(\frac{3\pi}{20}) \approx -17,9 \text{ cm/s}$$

Percepatan partikel pada titik P dapat diperoleh dengan menurunkan persamaan kecepatan terhadap waktu:

$$a(x,t) = \frac{\partial v(x,t)}{\partial t} = 96\pi^2 \sin(\frac{\pi}{50}x - 4\pi t)$$

Pada saat $t = 0,2 \text{ s}$ dan $x = 27,5 \text{ cm}$, percepatan partikel di titik P adalah:

$$a(27,5, 0,2) = 96\pi^2 \sin(\frac{3\pi}{20}) \approx 226,2 \text{ cm/s}^2$$

Kesimpulan

* Persamaan umum gelombang adalah $y(x,t) = 6 \sin(\frac{\pi}{50}x - 4\pi t)$.
* Simpangan titik P pada saat $t = 0,2 \text{ s}$ adalah sekitar $4,5 \text{ cm}$ dan sudut fasenya adalah $\frac{3\pi}{20} \text{ rad}$.
* Kecepatan partikel di titik P pada saat $t = 0,2 \text{ s}$ adalah sekitar $-17,9 \text{ cm/s}$ dan percepatannya adalah sekitar $226,2 \text{ cm/s}^2$.