5. Entropi suatu gas baru ditentukan sebagai : dimana konstanta T_(0) dan v_(0) adalah positif dan bergantung kuat terhadap temperature dan volume a) Tunjukkan bahwa persamaan tersebut sesuai baik pada dimensinya dan ekstensi vitasnya b) Tentukan fungsi suhu T(S,V,N) dan tekanan p(S,V,N) untuk gas ini

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami konsep entropi dalam termodinamika dan bagaimana ia berhubungan dengan variabel-variabel yang diberikan. Mari kita mulai dengan bagian (a).

Bagian (a):

Dimensi dan Ekstensi Vitas

Langkah 1: Menentukan Dimensi Entropi

Entropi (\(S\)) memiliki dimensi energi per satuan suhu, yang dalam satuan SI adalah \([L^2 \cdot K^{-1} \cdot s^{-1}]\).

Langkah 2: Menentukan Dimensi Konstanta \(T_0\) dan \(v_0\)

Diketahui bahwa \(T_0\) dan \(v_0\) adalah konstanta yang bergantung kuat terhadap suhu dan volume. Karena \(S\) memiliki dimensi \([L^2 \cdot K^{-1} \cdot s^{-1}]\), maka \(T_0\) harus memiliki dimensi yang sesuai agar persamaan tersebut konsisten secara dimensi.

Misalkan \(T_0\) memiliki dimensi \([K^n]\) dan \(v_0\) memiliki dimensi \([L^m]\). Agar persamaan tersebut benar secara dimensi, kita harus memiliki:

\[ [L^2 \cdot K^{-1} \cdot s^{-1}] = [K^n \cdot L^m] \]

Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa:

- \(n = -1\) (karena \(K^{-1}\) harus menyeimbangkan satu \(K\) di pembilang)
- \(m = 2\) (karena \(L^2\) harus menyeimbangkan dua \(L\) di penyebut)

Jadi, dimensi \(T_0\) adalah \([K^{-1}]\) dan dimensi \(v_0\) adalah \([L^2]\).

Langkah 3: Verifikasi Ekstensi Vitas

Ekstensi vitas (extensive properties) adalah sifat yang berubah secara linear dengan ukuran sistem. Entropi adalah sifat ekstensif, sehingga jika kita menggandakan volume gas, entropi juga harus menggandakan.

Dari persamaan yang diberikan, jika kita menggandakan \(V\) menjadi \(2V\), maka \(S\) harus menggandakan juga. Ini sesuai dengan sifat ekstensif dari entropi.

Bagian (b):

Fungsi Suhu \(T(S,V,N)\) dan Tekanan \(p(S,V,N)\)

Langkah 1: Menentukan Fungsi Suhu \(T(S,V,N)\)

Karena entropi \(S\) diberikan oleh:

\[ S = k \ln \left( \frac{T^{T_0} V^{v_0}}{N^{N_0}} \right) \]

Kita bisa mengekspresikan suhu \(T\) sebagai fungsi dari \(S\), \(V\), dan \(N\):

\[ S = k \ln \left( \frac{T^{T_0} V^{v_0}}{N^{N_0}} \right) \]
\[ \frac{S}{k} = \ln \left( \frac{T^{T_0} V^{v_0}}{N^{N_0}} \right) \]
\[ e^{\frac{S}{k}} = \frac{T^{T_0} V^{v_0}}{N^{N_0}} \]
\[ T^{T_0} = \frac{e^{\frac{S}{k}} N^{N_0}}{V^{v_0}} \]
\[ T = \left( \frac{e^{\frac{S}{k}} N^{N_0}}{V^{v_0}} \right)^{\frac{1}{T_0}} \]

Langkah 2: Menentukan Fungsi Tekanan \(p(S,V,N)\)

Menggunakan hukum gas ideal \(PV = Nk_BT\), kita bisa mengekspresikan tekanan \(p\) sebagai fungsi dari \(S\), \(V\), dan \(N\):

\[ p = \frac{Nk_BT}{V} \]

Substitusikan \(T\) dari fungsi suhu yang telah kita temukan:

\[ p = \frac{Nk_B \left( \frac{e^{\frac{S}{k}} N^{N_0}}{V^{v_0}} \right)^{\frac{1}{T_0}}}{