3. Gas ideal monoatomik memenuhi distribusi Maxwell-Boltzmanr dalam persamaan N_(MB)(epsilon )de=(2pi N)/((pi kT)^3/2)e^-epsilon /kTe^1/2de Hitunglah energi total sistem yang terdiri dari N partikel gas dengan menggunakan U=int _(0)^infty N_(MB)(epsilon )epsilon depsilon

Untuk menghitung energi total sistem yang terdiri dari \( N \) partikel gas ideal monoatomik dengan distribusi Maxwell-Boltzmann, kita akan menggunakan persamaan yang diberikan:

\[ U = \int_{0}^{\infty} N_{MB}(\epsilon) \epsilon \, d\epsilon \]

Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk energi adalah:

\[ N_{MB}(\epsilon) \, d\epsilon = \frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}} e^{-\epsilon / kT} e^{1/2} \, d\epsilon \]

Kita substitusikan \( N_{MB}(\epsilon) \) ke dalam integral energi total:

\[ U = \0}^{\infty} \left( \frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}} e^{-\epsilon / kT} e^{1/2} \right) \epsilon \, d\epsilon \]

Sekarang, kita pecahkan integral ini:

\[ U = \frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}} \int_{0}^{\infty} \epsilon e^{-\epsilon / kT} e^{1/2} \, d\epsilon \]

Kita bisa menyederhanakan faktor-faktor konstan terlebih dahulu:

\[ U = \frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \int_{0}^{\infty} \epsilon e^{-\epsilon / kT} \, d\epsilon \]

Karena \( e^{1/2} \) adalah konstanta, kita bisa mengabaikannya sementara dan fokus pada integral:

\[ U = \frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \int_{0}^{\infty} \epsilon e^{-\epsilon / kT} \, d\epsilon \]

Sekarang, kita lakukan substitusi \( x = \epsilon / kT \), sehingga \( dx = d\epsilon / kT \) dan ketika \( \epsilon = 0 \), \( x = 0 \); dan ketika \( \epsilon \to \infty \), \( x \to \infty \):

\[ U = \frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \int_{0}^{\infty} kTx \, e^{-x} \, dx \]

Kita bisa mengeluarkan konstanta \( kT \) dari integral:

\[ U = \frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \cdot kT \int_{0}^{\infty} x \, e^{-x} \, dx \]

Integral ini adalah integral dari fungsi densitas probabilitas eksponensial yang telah digeser, yang nilainya adalah 1 (karena ini adalah fungsi densitas probabilitas). Namun, kita perlu menghitung integral dari \( x \) terhadap \( e^{-x} \):

\[ \int_{0}^{\infty} x \, e^{-x} \, dx = 1 \]

Jadi, kita punya:

\[ U = \frac{2\pi N}{(\pi kT)^{3/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \cdot kT \cdot 1 \]

Menyederhanakan lebih lanjut:

\[ U ={2\pi N kT}{(\pi kT)^{3/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \]

\[ U = \frac{2\pi N kT}{\pi^{3/2} (kT)^{3/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \]

\[ U = \frac{2\pi N kT}{\pi^{3/2} k^{3/2} T^{3/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \]

\[ U = \frac{2\pi N}{\pi^{3/2} k^{3/2} T^{1/2}} \cdot \frac{1}{e^{1/2}} \]

\[ U = \frac{2\pi N}{\pi^{3/2} k^{3/2} T^{1/2