Latihan 2.1.3. Diberikan M, (IR) = a.b.c.de grup terhadap operasi M_(2)(R)= () a&b c&d penjumlahan matriks. 1. Buktikan bahwa H = H= () a&b 0&0(R) 2. Buktikan bahwa N = N= () a&b c&d(R)

Mari kita membuktikan bahwa \( H \) dan \( N \) adalah subgrup dari \( M_2(\mathbb{R}) \).

1. Buktikan bahwa \( H = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\} \) adalah subgrup dari \( M_2(\mathbb{R}) \).

Definisi Subgrup:
Sebuah himpunan \( H \) dikatakan subgrup dari grup \( G \) jika:
1. Elemen identitas dari \( G \) ada di \( H \).
2. Jika \( x, y \in H \), maka \( x \cdot y \in H \).
3. Jika \( x \in H \), maka invers dari \( x \) (yaitu \( x^{-1} \)) ada di \( H \).

Langkah-langkah:

1. Elemen Identitas:
Elemen identitas untuk penjumlahan matriks adalah matriks nol:
\[
I = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
Matriks ini jelas merupakan elemen dari \( H \) karena \( 0, 0 \in \mathbb{R} \).

2. Penutupan di bawah Penjumlahan:
Misalkan \( A, B \in H \), maka:
\[
A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
\[
A + B = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
Karena \( a+c \) dan \( b+d \) adalah bilangan real, \( A + B \in H \).

3. Eksistensi Invers:
Untuk \( A \in H \), inversnya adalah:
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
Jika \( a \neq 0 \), maka \( \frac{1}{a} \) dan \( -\frac{b}{a} \) adalah bilangan real, sehingga \( A^{-1} \in H \).

Karena semua kondisi terpenuhi, \( H \) adalah subgrup dari \( M_2(\mathbb{R}) \).

2. Buktikan bahwa \( N = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}, a+b = c+d \right\} \) adalah subgrup dari \( M_2(\mathbb{R}) \).

Langkah-langkah:

1. Elemen Identitas:
Elemen identitas untuk penjumlahan matriks adalah matriks nol:
\[
I = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
Untuk \( I \in N \), kita harus memiliki \( 0 + 0 = 0 + 0 \), yang benar. Jadi, \( I \in N \).

2. Penutupan di bawah Penjumlahan:
Misalkan \( X, Y \in N \), maka:
\[
X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} e & f \\ g &{pmatrix}
\]
dengan \( a+b = c+d \) dan \( e+f = g+h \).
\[
X + Y = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+