2. Diketa hui fungsi f(x)=(4x+3)/(x-2),xneq 2 dan g(x)=(x-3)/(x+5),xneq -5 Tentukan nilai dari (fcirc g)^-1(2)

Untuk menentukan nilai dari \((f \circ g)^{-1}(2)\), kita perlu mengikuti beberapa langkah. Pertama, kita harus menemukan komposisi fungsi \(f \circ g\), kemudian mencari inversnya, dan akhirnya mengevaluasi invers pada 2.

1. Temukan \(f \circ g\):

Komposisi fungsi \(f \circ g\) berarti kita memasukkan output dari \(g(x)\) ke dalam \(f(x)\).

Diketahui:
\[
f(x) = \frac{4x + x - 2}, \quad x \neq 2
\]
\[
g(x) = \frac{x - 3}{x + 5}, \quad x \neq -5
\]

Maka, \(f \circ g(x) = f(g(x))\):
\[
f(g(x)) = f\left(\frac{x - 3}{x + 5}\right)
\]

Substitusi \(g(x)\) ke dalam \(f(x)\):
\[
f\left(\frac{x - 3}{x + 5}\right) = \frac{4\left(\frac{x - 3}{x + 5}\right) + 3}{\left(\frac{x - 3}{x + 5}\right) - 2}
\]

Sederhanakan pecahan tersebut:
\[
= \frac{\frac{4(x - 3)}{x + 5} + 3}{\frac{x - 3}{x + 5} - 2}
\]
\[
= \frac{\frac{4(x - 3) + 3(x + 5)}{x + 5}}{\frac{x - 3 - 2(x + 5)}{x + 5}}
\]
\[
= \frac{\frac{4x - 12 + 3x + 15}{x + 5}}{\frac{x - 3 - 2x - 10}{x + 5}}
\]
\[
= \frac{\frac{7x + 3}{x + 5}}{\frac{-x - 13}{x + 5}}
\]
\[
= \frac{7x + 3}{-x - 13}
\]

Jadif \circ g(x) = \frac{7x + 3}{-x - 13}\).

2. Cari invers dari \(f \circ g\):

Untuk mencari invers dari \(f \circ g\), kita sebut \(y = f \circ g(x)\):
\[
y = \frac{7x + 3}{-x - 13}
\]

Sekarang, kita selesaikan untuk \(x\) dalam hal \(y\):
\[
y(-x - 13) = 7x + 3
\]
\[
-yx - 13y = 7x + 3
\]

Pindahkan semua suku yang mengandung \(x\) ke satu sisi:
\[
-yx - 7x = 13y + 3
\]
\[
x(-y - 7) = 13y + 3
\]

Bagi kedua sisi dengan \((-y - 7)\):
\[
x = \frac{13y + 3}{-y - 7}
\]

Jadi, invers dari \(f \circ g\) adalah:
\[
(f \circ g)^{-1}(y) = \frac{13y + 3}{-y - 7}
\]

3. Evaluasi \((f \circ g)^{-1}(2)\):

Substitusi \(y = 2\) ke dalam invers:
\[
(f \)^{-1}(2) = \frac{13(2) + 3}{-2 - 7}
\]
\[
= \frac{26 + 3}{-2 - 7}
\]
\[
= \frac{29}{-9}
\]
\[
= -\frac{29}{9}
\]

Jadi, nilai dari \((f \circ g)^{-1}(2)\) adalah \(-\frac{29}{9}\).