83. Diberikan matriks K = K=(} 1&2 3&4 ) dan L=(} 1&a b&3 ) Jika determinan KL adalah 10 , maka a.b=ldots (A) 12 (B) 10 C 8 D 6 (E) 4

Penjelasan:

Untlesaikan soal ini, kita perlu menghitung determinan dari hasil perkalian matriks \( K \) dan \( L \), yaitu \( \text{det}(KL) \). Diketahui bahwa:

\[ K = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]
\[ L = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 3 \end{pmatrix} \]

Pertama, kita hitung hasil perkalian matriks \( K \) dan \( L \):

\[ KL = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ b & 3 \end{pmatrix} \]

\[ KL = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot b & 1 \cdot a + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 + 4 \cdot b & 3 \cdot a + 4 \cdot 3 \end{pmatrix} \]

\[ KL = \begin{pmatrix} 1 + 2b & a + 6 \\ 3 + 4b & 3a + 12 \end{pmatrix} \]

Selanjutnya, kita hitung determinan dari matriks \( KL \):

\[ \text{det}(KL) = (1 + 2b)(3a + 12) - (a + 6)(3 + 4b) \]

Kita tahu bahwa determinan \( KL \) adalah 10, jadi:

\[ (1 + 2b)(3a + 12) - (a + 6)(3 + 4b) = 10 \]

Mari kita ekspansi dan sederhanakan persamaan ini:

\[ (1 + 2b)(3a + 12) = 3a12 + 6ab + 24b \]
\[ (a + 6)(3 + 4b) = 3a + 12a + 18 + 24b \]

Jadi,

\[ 3a + 12 + 6ab + 24b - (3a + 12a + 18 + 24b) = 10 \]

\[ 3a + 12 + 6ab + 24b - 3a - 12a - 18 - 24b = 10 \]

\[ 6ab - 12a = 10 \]

\[ 6a(b - 2) = 10 \]

\[ a(b - 2) = \frac{5}{3} \]

Karena kita mencari nilai \( ab \), kita bisa substitusi:

\[ ab - 2a = \frac{5}{3} \]

\[ ab = \frac{5}{3} + 2a \]

Namun, kita perlu mencari nilai \( ab \) yang memenuhi persamaan determinan. Dengan mencoba opsi jawaban yang diberikan, kita temukan bahwa:

Jika \( ab = 6 \), maka:

\[ 6a(b - 2) = 10 \]
\[ 6 \times 6(6 - 2) = 10 \]
\[ 36 \times 4 = 144 \neq 10 \]

Jadi, kita coba lagi dengan opsi lain:

Jika \( ab = 4 \), maka:

\[ 6a(b - 2) = 10 \]
\[ 6 \times 4(4 - 2) = 10 \]
\[ 24 \times 2 = 48 \neq 10 \]

Ternyata tidak ada opsi yang tepat. Mari kita coba pendekatan lain:

Kita ulangi langkah-langkah dengan benar:

\[ (1 + 2b)(3a + 12) - (a + 6)( 4b) = 10 \]

\[ 3a + 12 + 6ab + 24b - (3a + 12a + 18 + 24b) = 10 \]

\[ 3a + 12 + 6ab + 24b - 3a - 12a - 18 - 24b = 10 \]

\[ 6ab - 12a = 10 \]

\[ 6a(b - 2) = 10 \]

\[ a(b - 2) = \frac{5}{3} \]

Kita substitusi kembali dan coba opsi jawaban:

Jika \( ab = 8 \), maka:

\[