4. Hitung luas permukaan dari kurva y=(x^6+2)/8x^2,1leqslant xleqslant 3 yang diputar mengelilingi sumbu x sertakanlah sketsa dari permasalahan tersebut! 5. Carilah luas permukaan dari fungsi parameter x=rcos(t),y=rsin(t),0leqslant tleqslant pi

Question

Pertanyaan

4. Hitung luas permukaan dari kurva y=(x^6+2)/8x^2,1leqslant xleqslant 3 yang diputar mengelilingi sumbu x sertakanlah sketsa dari permasalahan tersebut! 5. Carilah luas permukaan dari fungsi parameter x=rcos(t),y=rsin(t),0leqslant tleqslant pi

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

4. Hitung luas permukaan dari kurva \( y = \frac{x^6 + 2}{8x^2}, 1 \leqslant x \leqslant 3 \) yang dipelilingi sumbu x serta sertakanlah sketsa dari permasalahan tersebut!

Untuk menghitung luas permukaan dari kurva yang diputar mengelilingi sumbu x, kita menggunakan rumus:
\[ S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \]

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi \( y \):
\[ y = \frac{x^6 + 2}{8x^2} = \frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{4x^2} \]

2. Hitung turunan pertama dari \( y \):
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{4x^2} \right) \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2x^3} \]

3. Hitung kuadrat dari turunan pertama:
\[ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left( \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2x^3} \right)^2 \]
\[ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left( \frac{1}{2}x^3 \right)^2 + \left( \frac{1}{2x^3} \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^3 \cdot \frac{1}{2x^3} \]
\[ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{46} - \frac{1}{2} \]

4. Hitung integral dari \(\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\):
\[ \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{4x} - \frac{1}{2}} \]
\[ \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{4x^6} + \frac{1}{2}} \]

5. Hitung luas permukaan:
\[ S = 2\pi \int_{1}^{3} \left( \frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{4x^2} \right) \sqrt{\frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{4x^6} + \frac{1}{2}} \, dx \]

Sketsa dari permasalahan ini menunjukkan kurva \( y = \frac{x^6 + 2}{8x^2} \) pada interval \( 1 \leqslant x \leqslant 3 \) yang diputar mengelilingi sumbu x.

5. Carilah luas permukaan dari fungsi parameter \( x = r\cos(t), y = r\sin(t), 0 \leqslant t \leqslant \pi \)

Untuk menghitung luas permukaan dari fungsi parameter, kita menggunakan rumus:
\[ S = \int_{0}^{\pi} 2\pi r \, dt \]

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tentukan hubungan antara \( x \) dan \( y \) dalam koordinat kartesian:
\[ x = r\cos(t) \]
\[ y = r\sin(t) \]

2. Hitung jarak dari titik pada kurva ke sumbu x:
\[ z = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(r\cos(t))^2 + (r\sin(t))^2} = \sqrt{r^2\cos^2(t) + r^2\sin^2(t)} = \sqrt{r^2(\cos^

Pertanyaan

4. Hitung luas permukaan dari kurva y=(x^6+2)/8x^2,1leqslant xleqslant 3 yang diputar mengelilingi sumbu x sertakanlah sketsa dari permasalahan tersebut! 5. Carilah luas permukaan dari fungsi parameter x=rcos(t),y=rsin(t),0leqslant tleqslant pi

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih