5. Carilah luas permukaan dari fungsi parameter x=rcos(t),y=rsin(t),0leqslant tleqslant pi jika diputar mengelilingi sumbu x!

Question

Pertanyaan

5. Carilah luas permukaan dari fungsi parameter x=rcos(t),y=rsin(t),0leqslant tleqslant pi jika diputar mengelilingi sumbu x!

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk mencari luas permukaan dari fungsi parameter \(x = r\cos(t), y = r\sin(t yang diputar mengelilingi sumbu x, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Identifikasi Fungsi Parameter:
Fungsi parameter yang diberikan adalah:
\[
x = r\cos(t)
\]
\[
y = r\sin(t)
\]
dengan \(0 \leq t \leq \pi\).

2. Hitung Jarak dari Titik ke Sumbu X:
Jarak dari titik \((x, y)\) ke sumbu x adalah \(|y|\). Dalam hal ini:
\[
|y| = |r\sin(t)|
\]

3. Tentukan Luas Permukaan:
Luas permukaan dari permukaan yang dibentuk oleh kurva ini ketika diputar mengelilingi sumbu x dapat dihitung dengan integral:
\[
A = 2\pi \int_{0}^{\pi} |r\sin(t)| \, dt
\]
Karena \(r\) adalah jarak dari asal ke titik pada kurva, dan dalam kasus ini \(r\) adalah konstanta, maka:
\[
A = 2\pi \int_{0}^{\pi} r|\sin(t)| \, dt
\]

4. Evaluasi Integral:
Karena \(|\sin(t)| = \sin(t)\) untuk \(0 \leq t \leq \pi\), integralnya menjadi:
\[
A = 2\pi \int_{0}^{\pi} r\sin(t) \, dt
\]
\[
A = 2\pi r \int_{0}^{\pi} \sin(t) \, dt
\]
\[
A = 2\pi r \left[ -\cos(t) \right]_{0}^{\pi}
\]
\[
A = 2\pi r \left( -\cos(\pi) + \cos(0) \right)
\]
\[
A = 2\pi r \left( -(-1) + 1 \right)
\]
\[
A = 2\pi r \cdot 2
\]
\[
A = 4\pi r
\]

Jadi, luas permukaan dari fungsi parameter \(x = r\cos(t), y = r\sin(t)\) yang diputar mengelilingi sumbu x adalah:
\[
\boxed{4\pi r}
\]

Pertanyaan

5. Carilah luas permukaan dari fungsi parameter x=rcos(t),y=rsin(t),0leqslant tleqslant pi jika diputar mengelilingi sumbu x!

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih