2. Misalkan Zadalah grup dari bilangan bilangan bulat, maka pengaitan di bawah ini mana yang merupakan homomorfisma dan mana yang bukan : forall ain Z a g(a)=vert avert b. h(a)=2a,c.k(a)=2^a d. 1(a)=0 e p(a)=-a selanjutnya, selidiki homomorfisma tersebut monombrfisma, epimorfisma atau isomorfisma atau bukan

Mari kita periksa setiap pemetaan untuk menentukan apakah merupakan homomorfisma grup dari grup bilangan bulat (ℤ, +) ke grup lain, dan jika ya, jenis homomorfisma apa itu (monomorfisma, epimorfisma, isomorfisma, atau bukan). Ingat bahwa pemetaan φ: (G, *) → (H, ·) adalah homomorfisma grup jika φ(x * y) = φ(x) · φ(y) untuk semua x, y ∈ G. Dalam kasus kita, operasi grup adalah penjumlahan (+).

a. g(a) = |a|

Periksa apakah g(a+b) = g(a) + g(b):

g(a+b) = |a+b|
g(a) + g(b) = |a| + |b|

|a+b| ≠ |a| + |b| untuk banyak kasus (misalnya, a=1, b=-1). |1+(-1)| = 0, tetapi |1| + |-1| = 2. Oleh karena itu, g(a) = |a| bukanlah homomorfisma.

b. h(a) = 2a

Periksa apakah h(a+b) = h(a) + h(b):

h(a+b) = 2(a+b) = 2a + 2b
h(a) + h(b) = 2a + 2b

h(a+b) = h(a) + h(b). Jadi, h(a) = 2a adalah homomorfisma.

* Monomorfisma? Ya, karena jika h(a) = h(b), maka 2a = 2b, yang menyiratkan a = b. Jadi, pemetaan injektif (satu-satu).
* Epimorfisma? Tidak, karena codomainnya adalah ℤ, tetapi range dari h(a) hanya bilangan genap. Jadi, pemetaan tidak surjektif (onto).
* Isomorfisma? Tidak, karena bukan epimorfisma.


c. k(a) = 2^a

Periksa apakah k(a+b) = k(a) + k(b):

k(a+b) = 2^a+b = 2^a * 2^b
k(a) + k(b) = 2^a + 2^b

2^a * 2^b ≠ 2^a + 2^b (kecuali untuk kasus-kasus trivial). Oleh karena itu, k(a) = 2^a bukanlah homomorfisma. (Perhatikan bahwa ini adalah homomorfisma jika operasi pada codomain adalah perkalian, bukan penjumlahan).

d. l(a) = 0

Periksa apakah l(a+b) = l(a) + l(b):

l(a+b) = 0
l(a) + l(b) = 0 + 0 = 0

l(a+b) = l(a) + l(b). Jadi, l(a) = 0 adalah homomorfisma.

* Monomorfisma? Tidak, karena banyak elemen yang dipetakan ke 0.
* Epimorfisma? Tidak, karena hanya memetakan ke 0.
* Isomorfisma? Tidak, karena bukan monomorfisma dan epimorfisma.


e. p(a) = -a

Periksa apakah p(a+b) = p(a) + p(b):

p(a+b) = -(a+b) = -a - b
p(a) + p(b) = -a + (-b) = -a - b

p(a+b) = p(a) + p(b). Jadi, p(a) = -a adalah homomorfisma.

* Monomorfisma? Ya, karena jika p(a) = p(b), maka -a = -b, yang menyiratkan a = b.
* Epimorfisma? Ya, karena setiap bilangan bulat b memiliki pasangan -b dalam ℤ.
* Isomorfisma? Ya, karena merupakan monomorfisma dan epimorfisma.


Kesimpulan: Hanya h(a) = 2a dan p(a) = -a yang merupakan homomorfisma. Hanya p(a) = -a yang merupakan isomorfisma. h(a) = 2a adalah monomorfisma, tetapi bukan epimorfisma atau isomorfisma. l(a) = 0 adalah homomorfisma, tetapi bukan monomorfisma, epimorfisma, atau isomorfisma.