1. Sketsakan kurva x=2sqrt (4-y),0leqslant yleqslant 9/4 jika diputar mengelilingi sumbu y, kemudian tentukanlah luas permukaan dari benda putar tersebut!

Question

Pertanyaan

1. Sketsakan kurva x=2sqrt (4-y),0leqslant yleqslant 9/4 jika diputar mengelilingi sumbu y, kemudian tentukanlah luas permukaan dari benda putar tersebut!

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk menentukan luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari pemutaran kurva \( x = 2\sqrt{4 - y} \) mengelilingi sumbu y, kita dapat menggunakan rumus luas permukaan benda putar:

\[ L = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy \]

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tentukan batas integrasi: Diketahui \( 0 \leqslant y \leqslant \frac{9}{4} \).

2. Hitung turunan \(\frac{dx}{dy}\):
\[ x = 2\sqrt{4 - y} \]
\[ \frac{dx}{dy} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (4 - y)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1) = -\frac{1}{\sqrt{4 - y}} \]

3. Hitung \(\left(\frac{dx}{dy}\right)^2\):
\[ \left(\frac{dx}{dy}\right)^2 = \left(-\frac{1}{\sqrt{4 - y}}\right)^2 = \frac{1}{4 - y} \]

4. Substitusi ke dalam rumus luas permukaan:
\[ L = 2\pi \int_{0}^{\frac{9}{4}} y \sqrt{1 + \frac{1}{4 - y}} \, dy \]
\[ L = 2\pi \int_{0}^{\frac{9}{4}} y \sqrt{\frac{4 - y + 1}{4 - y}} \, dy \]
L = 2\pi \int_{0}^{\frac{9}{4}} y \sqrt{\frac{5 - y}{4 - y}} \, dy \]

5. Sederhanakan integral:
\[ L = 2\pi \int_{0}^{\frac{9}{4}} y \cdot \frac{\sqrt{5 - y}}{\sqrt{4 - y}} \, dy \]

6. Gunakan substitusi trigonometri atau metode lain untuk menyelesaikan integral (ini biasanya memerlukan teknik khusus atau perangkat lunak numerik).

Setelah menyelesaikan integral tersebut, kita akan mendapatkan nilai numerik untuk luas permukaan benda putar tersebut. Namun, tanpa alat komputasi, penyelesaian manual mungkin terlalu rumit dan memakan waktu. Oleh karena itu, sering kali digunakan perangkat lunak numerik untuk mendapatkan hasil akhir.

Pertanyaan

1. Sketsakan kurva x=2sqrt (4-y),0leqslant yleqslant 9/4 jika diputar mengelilingi sumbu y, kemudian tentukanlah luas permukaan dari benda putar tersebut!

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih