Luas persegi panjang terbesar dalam segitiga beralas 4 cm dan tinggi 6 cm adalah A 2cm^2 A B 4cm^2 B C 6cm^2 D 8cm^2 E 10cm^2

Jawaban yang tepat adalah B. 4 cm²

Berikut penjelasannya:

Teorema: Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat di dalam segitiga sebangun dengan segitiga tersebut, dan luasnya setengah dari luas segitiga.

Bukti (Intuitif): Bayangkan sebuah persegi panjang di dalam segitiga. Jika kita geser persegi panjang tersebut ke atas atau ke bawah, kita dapat mengubah ukurannya. Luas persegi panjang akan berubah. Terdapat satu posisi tertentu di mana luas persegi panjang akan maksimal. Posisi ini terjadi ketika sisi atas persegi panjang sejajar dengan alas segitiga, dan tinggi persegi panjang adalah setengah dari tinggi segitiga.

Penerapan pada soal:

* Luas segitiga = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * 4 cm * 6 cm = 12 cm²
* Luas persegi panjang terbesar = (1/2) * Luas segitiga = (1/2) * 12 cm² = 6 cm²

Namun, terdapat kesalahan dalam pilihan jawaban. Perhitungan di atas mengasumsikan persegi panjang yang *sebangun* dengan segitiga. Soal hanya meminta luas persegi panjang terbesar *di dalam* segitiga. Persegi panjang terbesar *tidak harus* sebangun dengan segitiga.

Mari kita pertimbangkan persegi panjang dengan tinggi h dan panjang p. Karena persegi panjang berada di dalam segitiga, kita dapat menggunakan kesebangunan segitiga untuk menemukan hubungan antara h dan p. Perhatikan bahwa segitiga kecil di atas persegi panjang sebangun dengan segitiga besar. Rasio tinggi terhadap alas akan sama:

h / p = (6-h) / 4

4h = 6p - hp

p = 4h / (6-h)

Luas persegi panjang A = p * h = (4h²)/(6-h)

Untuk mencari luas maksimum, kita dapat mencari turunan dari A terhadap h dan menyamakannya dengan nol:

dA/dh = (8h(6-h) + 4h²)/(6-h)² = 0

8h(6-h) + 4h² = 0

48h - 8h² + 4h² = 0

48h - 4h² = 0

4h(12 - h) = 0

h = 0 atau h = 12

Karena h tidak mungkin 0 atau 12 (h harus lebih kecil dari 6), terdapat kesalahan dalam pendekatan ini. Pendekatan yang lebih sederhana dan tepat adalah dengan memperhatikan bahwa persegi panjang dengan luas maksimum akan memiliki tinggi setengah dari tinggi segitiga.

Tinggi persegi panjang = 6 cm / 2 = 3 cm

Panjang persegi panjang (menggunakan kesebangunan): p/3 = 4/6 => p = 2 cm

Luas persegi panjang = 2 cm * 3 cm = 6 cm²

Kesimpulan: Terdapat kesalahan dalam pilihan jawaban. Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat di dalam segitiga tersebut adalah 6 cm², bukan salah satu pilihan yang diberikan. Kemungkinan terdapat kesalahan dalam penulisan soal atau pilihan jawaban.