5. Di sebuah pabrik,tingkat produksi harian suatu mesin dinyatakan oleh fungsi MC=200ln(q+1)+ 50e^0,1q di mana q adalah jumlah tenaga kerja yang digunakan. Manajer pabrik ingin mengetahui total tenaga kerja dan rata-rata tenaga kerja . Tentukan total produksi dan rata-rata produksi jika pabrik menggunakan sejumlah tenaga kerja tertentu!

Untuk menentukan total produksi dan rata-rata produksi berdasarkan jumlah tenaga kerja yang digunakan, kita perlu mengintegrasikan fungsi marjinal produksi (MC) untuk mendapatkan fungsi total produksi (TC). Fungsi MC diberikan sebagai:

\[ MC = 200 \ln(q + 1) + 50 e^{0.1q} \]

Total Produksi (TC)
Total produksi dapat ditemukan dengan mengintegrasikan fungsi marjinal produksi terhadap jumlah tenaga kerja \( q \):

\[ TC(q) = \int MC \, dq = \int \left( 200 \ln(q + 1) + 50 e^{0.1q} \right) \, dq \]

Mari kita integralkan setiap bagian secara terpisah:

1. Integral dari \( 200 \ln(q + 1) \):
\[ \int 200 \ln(q + 1) \, dq = 200 \int \ln(q + 1) \, dq \]
Gunakan substitusi \( u = q + 1 \), maka \( du = dq \):
\[ 200 \int(u) \, du = 200 \left( u \ln(u) - u \right) + C_1 \]
Kembali ke variabel \( q \):
\[ = 200 (q + 1) \ln(q + 1) - 200 (q + 1) + C_1 \]

2. Integral dari \( 50 e^{0.1q} \):
\[ \int 50 e^{0.1q} \, dq = 50 \int e^{0.1q} \, dq \]
Gunakan substitusi \( v = 0.1q \), maka \( dv = 0.1dq \) atau \( dq = 10dv \):
\[ = 50 \int e^v \cdot 10 \, dv = 500 \int e^v \, dv = 500 e^v + C_2 \]
Kembali ke variabel \( q \):
\[ = 500 e^{0.1q} + C_2 \]

Menggabungkan kedua hasil integral tersebut:
\[ TC(q) = 200 (q + 1) \ln(q + 1) - 200 (q + 1) + 500 e^{0.1q} + C \]

Di mana \( C = C_1 + C_2 \) adalah konstanta integrasi.

Rata-rata Produksi
Rata-rata produksi adalah total produksi dibagi dengan jumlah tenaga kerja yang digunakan:

\[ \text{Rata-rata Produksi} = \frac{TC(q)}{q} \]

Substitusikan \( TC(q) \) ke dalam persamaan rata-rata produksi:
\[ \text{Rata-rata Produksi} = \frac{200 (q + 1) \ln(q + 1) - 200 (q + 1) + 500 e^{0.1q}}{q} \]

Jadi, total produksi dan rata-rata produksi jika pabrik menggunakan sejumlah tenaga kerja tertentu \( q \) adalah:

\[ TC(q) = 200 (q + 1) \ln(q + 1) - 200 (q + 1) + 500 e^{0.1q} + C \]
\[ \text{Rata-rata Produksi} = \frac{200 (q + 1) \ln(q + 1) - 200 (q + 1) + 500 e^{0.1q}}{q} \]