Benarkah atau salahkah pernyataan berikut ini : "Jika 3x=4y(mod5) maka 9x^2=16y^2(mod5) Berikanlah alasannya. (Nilai 5) g Tentukan nilai-xyang memenuhi kongruenya 3x=10(mod11).

Pernyataan 1: Benarkah atau salahkah pernyataan berikut ini : "Jika $3x \equiv 4y \pmod{5}$ maka $9x^2 \equiv 16y^2 \pmod{5}$"?

Jawaban: Pernyataan tersebut SALAH.

Alasan:

Meskipun $3x \equiv 4y \pmod{5}$, tidak otomatis berarti $(3x)^2 \equiv (4y)^2 \pmod{5}$. Kuadratkan kedua sisi kongruensi awal:

$(3x)^2 \equiv (4y)^2 \pmod{5}$

$9x^2 \equiv 16y^2 \pmod{5}$

Namun, kita perlu memeriksa apakah ini selalu benar modulo 5. Perhatikan bahwa $9 \equiv 4 \pmod{5}$ dan $16 \equiv 1 \pmod{5}$. Maka persamaan di atas menjadi:

$4x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$

Ini *tidak* sama dengan $9x^2 \equiv 16y^2 \pmod{5}$ kecuali jika $4x^2 \equiv 9x^2 \pmod 5$ dan $y^2 \equiv 16y^2 \pmod 5$, yang tidak selalu benar.

Contoh Penyangkal:

Ambil $x=1$ dan $y=2$. Maka $3(1) = 3$ dan $4(2) = 8$. $3 \equiv 8 \pmod{5}$ (karena $8-3=5$, kelipatan 5). Jadi, kondisi awal terpenuhi.

Sekarang, periksa $9x^2 \equiv 16y^2 \pmod{5}$:

$9(1)^2 \equiv 16(2)^2 \pmod{5}$

$9 \equiv 64 \pmod{5}$

$9 \equiv 4 \pmod{5}$

$64 \equiv 4 \pmod{5}$

Dalam kasus ini, pernyataan tersebut benar.

Namun, jika kita ambil $x=2$ dan $y=1$, maka $3(2) = 6 \equiv 1 \pmod 5$ dan $4(1) = 4$. $1 \not\equiv 4 \pmod 5$. Jadi kondisi awal tidak terpenuhi.

Jika kita ambil $x=2$ dan $y=3$, maka $3(2) = 6 \equiv 1 \pmod 5$ dan $4(3) = 12 \equiv 2 \pmod 5$. $1 \not\equiv 2 \pmod 5$. Jadi kondisi awal tidak terpenuhi.

Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa meskipun ada kasus di mana pernyataan tersebut benar, itu tidak selalu benar. Oleh karena itu, pernyataan tersebut secara umum salah.


Pernyataan 2: Tentukan nilai x yang memenuhi kongruensi $3x \equiv 10 \pmod{11}$

Untuk menyelesaikan $3x \equiv 10 \pmod{11}$, kita perlu mencari invers perkalian dari 3 modulo 11. Invers perkalian dari *a* modulo *n* adalah bilangan bulat *x* sedemikian sehingga $ax \equiv 1 \pmod{n}$.

Kita dapat menggunakan algoritma Euclidean diperluas untuk menemukan invers perkalian dari 3 modulo 11. Atau, kita bisa mencobanya secara manual:

* $3 \times 1 \equiv 3 \pmod{11}$
* $3 \times 2 \equiv 6 \pmod{11}$
* $3 \times 3 \equiv 9 \pmod{11}$
* $3 \times 4 \equiv 12 \equiv 1 \pmod{11}$

Jadi, invers perkalian dari 3 modulo 11 adalah 4. Kalikan kedua sisi kongruensi dengan 4:

$4(3x) \equiv 4(10) \pmod{11}$

$12x \equiv 40 \pmod{11}$

$x \equiv 7 \pmod{11}$

Jadi, nilai x yang memenuhi kongruensi adalah $x \equiv 7 \pmod{11}$. Artinya, x dapat berupa 7, 18, 29, dan seterusnya.