3. A. Nona A mengalokasikan dananya sebesar Rp2.000.000 (2 juta rupiah) untuk membeli baju dan kosmetik . dengan catatan : U=X.Y X=pakaian danU=kosmetik Harga Pakaian=200.000(Px) dan harga kosmetik=100.000(Py) Pertanyaannya adalah : a. Hitunglah kombinasi konsumsi yang optimal! b. Jika harga kosmetik naik menjadi 200.000 hitunglah kombinasi konsumsi dan tingkat utilitas pada tingkat keseimbangan yang baru?

3. A. Nona A mengalokasikan dananya sebesar $Rp2.000.000$ (2 jupiah) untuk membeli baju dan kosmetik dengan catatan : $U=X.Y$ $X=pakaian\quad danU=kosmetik$ $Harga\quad Pakaian=200.000(Px)$ dan $harga\quad kosmetik=100.000(Py)$

Pertanyaannya adalah :

a. Hitunglah kombinasi konsumsi yang optimal!

Untuk menemukan kombinasi konsumsi yang optimal, kita perlu memaksimalkan utilitas $U$ dengan batasan anggaran yang tersedia.

Diketahui:
- Anggaran: $P_x \cdot X + P_y \cdot Y = 2.000.000$
- Harga pakaian: $P_x = 200.000$
- Harga kosmetik: $P_y = 100.000$

Kita ingin memaksimalkan utilitas $U = X \cdot Y$.

Dengan menggunakan metode Lagrange, kita buat fungsi Lagrange:
\[ \mathcal{L}(X, Y, \lambda) = X \cdot Y - \lambda (P_x \cdot X + P_y \cdot Y - 2.000) \]

Turunkan $\mathcal{L}$ terhadap $X$, $Y$, dan $\lambda$ dan samakan dengan nol:
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X} = Y - \lambda P_x = 0 \]
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Y} = X - \lambda P_y = 0 \]
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(P_x \cdot X + P_y \cdot Y - 2.000.000) = 0 \]

Dari persamaan pertama dan kedua, kita dapatkan:
\[ Y = \lambda P_x \]
\[ X = \lambda P_y \]

Substitusikan ke dalam persamaan ketiga:
\[ P_x (\lambda P_x) + P_y (\lambda P_y) = 2.000.000 \]
\[ \lambda (P_x^2 + P_y^2) = 2.000.000 \]
\[ \lambda = \frac{2.000.000}{P_x^2 + P_y^2} \]

Substitusikan nilai_x$ dan $P_y$:
\[ \lambda = \frac{2.000.000}{(200.000)^2 + (100.000)^2} \]
\[ \lambda = \frac{2.000.000}{40.000.000 + 10.000.000} \]
\[ \lambda = \frac{2.000.000}{50.000.000} \]
\[ \lambda = 0,04 \]

Kemudian, substitusikan $\lambda$ kembali ke dalam persamaan untuk $X$ dan $Y$:
\[ X = \lambda P_y = 0,04 \times 100.000 = 4.000 \]
\[ Y = \lambda P_x = 0,04 \times 200.000 = 8.]

Jadi, kombinasi konsumsi yang optimal adalah:
- $X = 4.000$ (pakaian)
- $Y = 8.000$ (kosmetik)

b. Jika harga kosmetik naik menjadi 200.000 hitunglah kombinasi konsumsi dan tingkat utilitas pada tingkat keseimbangan yang baru.

Dengan harga baru untuk kosmetik $P_y' = 200.000$, kita ulangi proses di atas.

Diketahui:
- Anggaran tetap: $P_x \cdot X + P_y' \cdot Y = 2.000.000$
- Harga pakaian: $P_x = 200.000$
- Harga kosmetik baru: $P_y' = 200.000$

Kita ingin memaksimalkan utilitas $U = X \cdot Y$.

Buat fungsi Lagrange baru:
\[ \mathcal{L}(X, Y, \lambda) = X \cdot Y - \lambda (P_x \cdot X + P_y' \cdot Y - 2.000.000) \]

Turunkan $\mathcal{L}$ terhadap $X$, $Y$, dan $\lambda$ dan samakan dengan nol:
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X} = Y - \lambda P_x = 0 \]
\[