3. Carilah luasan permukaan yang dibentuk antara kurva 2y=sqrt (x),0leqslant xleqslant 1 jika diputar mengelilingi sumbu x!

Untuk mencari luas permukaan yang dibentuk antara kurva \(2y = \sqrt{x}\), \(0 \slant x \leqslant 1\) jika diputar mengelilingi sumbu x, kita dapat menggunakan rumus luas permukaan benda putar:

\[
A = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
\]

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi dan batas integrasi:
- Fungsi yang diberikan adalah \(2y = \sqrt{x}\), sehingga \(y = \frac{\sqrt{x}}{2}\).
- Batas integrasi adalah dari \(x = 0\) hingga \(x = 1\).

2. Hitung turunan pertama dari \(y\):
\[
y = \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{x^{1/2}}{2}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{1/2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x/2} = \frac{1}{4\sqrt{x}}
\]

3. Substitusi ke dalam rumus luas permukaan:
\[
A = 2\pi \int_{0}^{1} \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \sqrt{1 + \left( \frac{1}{4\sqrt{x}})^2} \, dx
\]
\[
A = 2\pi \int_{0}^{1} \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \sqrt{1 + \frac{1}{16x}} \, dx
\]
\[
A = 2\pi \int_{0}^{1} \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \sqrt{\frac{16x + 1}{16x}} \, dx
\]
\[
A = 2\pi \int_{0}^{1} \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \right) \cdot \frac{\sqrt{16x + 1}}{4\sqrt{x}} \, dx
\ \[
A = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{16x + 1}}{8} \, dx
\]

4. Sederhanakan dan evaluasi integral:
\[
A = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{1} \sqrt{16x + 1} \, dx
]

Untuk menyelesaikan integral ini, kita bisa menggunakan substitusi trigonometri atau metode lain yang sesuai. Namun, dalam hal ini, kita akan menggunakan metode substitusi trigonometri:

Misalkan \(16x + 1 = \sec^2(\theta)\), maka \(dx = \frac{\sec^2(\theta)}{16} d\).

Ketika \(x = 0\), \(\theta = 0\).
Ketika \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{3}\).

Maka integralnya menjadi:
\[
A = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\sec^2(\theta)} \cdot \sec^2(\theta)}{16} d\theta
\]
\[
A = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec(\theta) \cdot \frac{\sec^2(\theta)}{16} d\theta
\]
\[
A = \frac{\pi}{4} \cdot \frac}{16} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec^3(\theta) \, d\theta
\]

Integral dari \(\sec^3(\theta)\) adalah:
\[
\int \sec^3(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \ln |\sec(\theta) + \tan(\theta C
\]

Jadi,
\[
A = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{16} \left