Poin (20)Jika u=(3,-2,5) dan v=(1,4,3) tentukan: a. Proyeksi ortogonal u pada v b. Komponer vektor u yang ortogonal terhadap v

a. Proyeksi ortogonal \( \mathbf{u} \) pada \( \mathbf{v} \)

Proyeksi ortogonal dari vektor \( \mathbf{u} \) ke vektor \( \mathbf{v} \) diberikan oleh rumus:
\[ \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2} \right) \mathbf{v} \]

Pertama, kita hitung dot product \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \):
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (3)(1) + (-2)(4) + (5)(3) = 3 - 8 + 15 = 10 \]

Kemudian, kita hitung norma kuadrat dari \( \mathbf{v} \):
\[ \|\mathbf{v}\|^2 = (1)^2 + (4)^2 + (3)^2 = 1 + 16 + 9 = 26 \]

Sekarang, kita substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus proyeksi:
\[ \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \left( \frac{10}{26} \right) \mathbf{v} = \left( \frac{5}{13} \right) \mathbf{v} \]

Karena \( \mathbf{v} = (1, 4, 3) \), maka:
\[ \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \left( \frac{5}{13} \right) (1, 4, 3) = \left({5}{13}, \frac{20}{13}, \frac{15}{13} \right) \]

Jadi, proyeksi ortogonal \( \mathbf{u} \) pada \( \mathbf{v} \) adalah:
\[ \left( \frac{5}{13}, \frac{20}{13}, \frac{15}{13} \right) \]

b. Komponen vektor \( \mathbf{u} \) yang ortogonal terhadap \( \mathbf{v} \)

Komponen vektor \( \mathbf{u} \) yang ortogonal terhadap \( \mathbf{v} \) dapat ditemukan dengan mengurangkan proyeksi ortogonal dari \( \mathbf{u} \) pada \( \mathbf{v} \) dari \( \mathbf{u} \) itu sendiri:
\[ \mathbf{u}_{\perp \mathbf{v}} = \mathbf{u} - \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} \]

Kita sudah tahu bahwa:
\[ \mathbf{u} = (3, -2,) \]
\[ \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \left( \frac{5}{13}, \frac{20}{13}, \frac{15}{13} \right) \]

Maka:
\[ \mathbf{u}_{\perp \mathbf{v}} = (3, -2, 5) - \left( \frac{5}{13}, \frac{20}{13}, \frac{15}{13} \right) \]

Kita hitung masing-masing komponen:
\[ x_{\perp \mathbf{v}} = 3 - \frac{5}{13} = \frac{39}{13} - \frac{5}{13} = \frac{34}{13} \]
\[ y_{\perp \mathbf{v}} = -2 - \frac{20}{13} = -\frac{26}{13} - \frac{20}{13} = -\frac{46}{13} \]
\[ z_{\perp \mathbf{v}} = 5 - \frac{15}{13} = \frac{65}{13} - \frac{15}{ = \frac{50}{13} \]

Jadi, komponen vektor \( \mathbf{u} \) yang ortogonal terhadap \( \mathbf{v} \) adalah:
\[ \left( \frac{34}{13}, -\frac{46}{13}, \frac{50}{13} \right) \]