6. Diketahui F(x)=cosx-(1)/(2) Tentukan fungsi /'dan suatu konstanta a agar untuk setiap x berlaku F(x)=int _(a)^xf(t)dt

Untuk menentukan fungsi \( f \) dan konstanta \( a \) agar \( F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \), kita perlu mencari turunan dari \( F(x) \). Diketahui:

\[ F(x) = \cos x - \frac{1}{2} \]

Turunan dari \( F(x) \) terhadap \( x \) adalah:

\[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) = -\sin x \]

Jadi, fungsi \( f(t) \) adalah:

\[ f(t) = -\sin t \]

Sekarang, kita harus menentukan konstanta \( a \). Karena \( F(x) \) adalah integral dari \( f(t) \) dari \( a \) ke \( x \), maka:

\[ F(x) = \int_{a}^{x} -\sin t \, dt \]

Integrasi \( -\sin t \) adalah \( \cos t \):

\[ \int -\sin t \, dt = \cos t \]

Jadi,

\[ F(x) = \cos x - \cos a \]

Kita tahu bahwa \( F(x) = \cos x - \frac{1}{2} \). Maka,

\[ \cos x - \cos a = \cos x - \frac{1}{2} \]

Dari sini, kita dapatkan:

\[ -\cos a = -\frac{1}{2} \]

Sehingga,

\[ \cos a = \frac{1}{2} \]

Nilai \( a \) yang memenuhi adalah \( a = \frac{\pi}{3} \) atau \( a = -\frac{\pi}{3} \). Namun, biasanya kita menggunakan interval yang paling sederhana, yaitu \( a = 0 \).

Jadi, fungsi \( f(t) \) adalah:

\[ f(t) = -\sin t \]

Dan konstanta \( a \) adalah:

\[ a = 0 \]

Dengan demikian, kita memiliki:

\[ F(x) = \int_{0}^{x} -\sin t \, dt = \cos t \Big|_{0}^{x} = \cos x - \cos 0 = \cos x - 1 \]

Namun, karena kita ingin \( F(x) = \cos x - \frac{1}{2} \), maka kita harus memilih \( a = \frac{\pi}{3} \) untuk mendapatkan:

\[ F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} -\sin t \, dt = \cos t \Big|_{\frac{\pi}{3}}^{x} = \cos x - \cos \frac{\pi}{3} = \cos x - \frac{1}{2} \]

Jadi, jawaban yang benar adalah:

\[ f(t) = -\sin t \]
\[ a = \frac{\pi}{3} \]