6: 260.11:2.1.1.82. (12.2)............................................ Tunjukan bahara: a. H_(1)=lambda (1),(1,2,3),(1,3) normal S_(3) H_(2)=lambda (1),(2,3)% butan subgrop normal S_(3)

Question

Pertanyaan

6: 260.11:2.1.1.82. (12.2)............................................ Tunjukan bahara: a. H_(1)=lambda (1),(1,2,3),(1,3) normal S_(3) H_(2)=lambda (1),(2,3)% butan subgrop normal S_(3)

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk menunjukkan bahwa H₁ normal di S₃ dan H₂ bukan subgrup normal di S₃, kita perlu memahami definisi subgrup normal dan bagaimana cara mengujinya.

Definisi Subgrup Normal: Suatu subgrup H dari grup G disebut normal (dinotasikan H ⊲ G) jika untuk setiap g ∈ G dan setiap h ∈ H, berlaku g⁻¹hg ∈ H. Dengan kata lain, konjugasi setiap elemen H oleh setiap elemen G masih berada di dalam H.

a. H₁ = {λ(1), (1,2,3), (1,3,2)} normal di S₃

S₃ adalah grup permutasi dari tiga elemen {1, 2, 3}. H₁ adalah subgrup siklik yang dihasilkan oleh (1,2,3). Elemen-elemen H₁ adalah identitas (λ(1)), siklus (1,2,3), dan siklus (1,3,2) = (1,2,3)⁻¹.

Untuk membuktikan H₁ normal di S₃, kita perlu memeriksa semua konjugasi elemen H₁ oleh semua elemen S₃. S₃ memiliki 6 elemen: λ(1), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2).

Mari kita periksa beberapa contoh:

* Konjugasi (1,2,3) oleh (1,2): (1,2)⁻¹(1,2,3)(1,2) = (1,2)(1,2,3)(1,2) = (1,3,2) ∈ H₁
* Konjugasi (1,3,2) oleh (1,2): (1,2)⁻¹(1,3,2)(1,2) = (1,2)(1,3,2)(1,2) = (1,2,3) ∈ H₁
* Konjugasi (1,2,3) oleh (1,3): (1,3)⁻¹(1,2,3)(1,3) = (1,3)(1,2,3)(1,3) = (1,3,2) ∈ H₁

Kita bisa melanjutkan memeriksa semua kemungkinan konjugasi. Namun, ada cara yang lebih efisien. Perhatikan bahwa H₁ adalah subgrup dari indeks 2 di S₃ (|S₃|/|H₁| = 6/3 = 2). Teorema: Setiap subgrup dari indeks 2 dalam suatu grup adalah subgrup normal. Karena H₁ memiliki indeks 2 di S₃, maka H₁ normal di S₃.

b. H₂ = {λ(1), (2,3)} bukan subgrup normal di S₃

H₂ adalah subgrup dari S₃, tetapi bukan subgrup normal. Untuk membuktikannya, kita cukup menemukan satu contoh konjugasi yang menghasilkan elemen di luar H₂.

* Konjugasi (2,3) oleh (1,2): (1,2)⁻¹(2,3)(1,2) = (1,2)(2,3)(1,2) = (1,3) ∉ H₂

Karena konjugasi (2,3) oleh (1,2) menghasilkan (1,3) yang bukan anggota H₂, maka H₂ bukan subgrup normal di S₃.

Kesimpulan:

H₁ adalah subgrup normal dari S₃ karena merupakan subgrup indeks 2. H₂ bukan subgrup normal dari S₃ karena terdapat konjugasi yang menghasilkan elemen di luar H₂. Ini membuktikan pernyataan yang diberikan.

Pertanyaan

6: 260.11:2.1.1.82. (12.2)............................................ Tunjukan bahara: a. H_(1)=lambda (1),(1,2,3),(1,3) normal S_(3) H_(2)=lambda (1),(2,3)% butan subgrop normal S_(3)

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih