4. Tentukan limit dari fungsi berikut: lim _(xarrow 0)(3x+1)/(5x-1) lim _(xarrow infty )(3x+1)/(5x-1) lim _(tarrow 0)((40t)/(t^2)+10-(50)/(t-1)+70) lim _(tarrow infty )((40t)/(t^2)+10-(50)/(t-1)+70) lim _(harrow 0)((x+h)^2-x^2)/(h) lim _(harrow 0)(2(x+h)^1/2-2x^1/2)/(h) lim _(narrow infty )(1+(1)/(n))^n lim _(narrow infty )(10,000,000(1+(6% )/(n))^3n)

Mari kita selesaikan set satu per satu:

1. $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {3x+1}{5x-1}$

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk $\frac{1}{-1}$, yang adalah -1.

Jadi, $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {3x+1}{5x-1} = -1$.

2. $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {3x+1}{5x-1}$

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan $x$:

$\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {3x+1}{5x-1} = \lim _{x\rightarrow \infty }\frac {3+\frac{1}{x}}{5-\frac{1}{x}} = \frac{3}{5}$.

3. $\lim _{t\rightarrow 0}(\frac {40t}{t^{2}+10}-\frac {50}{t-1}+70)$

Kita evaluasi setiap bagian secara terpisah:

- $\lim_{t \to 0} \frac{40t}{t^2 + 10} = \lim_{t \to 0} \frac{40t}{10} = 0$.
- $\lim_{t \to 0} \frac{50}{t - 1}$ tidak ada karena akan menghasilkan bentuk $\frac{50}{-1}$ yang tidak terdefinisi.
- $\lim_{t \to 0} 70 = 70$.

Karena bagian kedua tidak terdefinisi, limit keseluruhan juga tidak ada.

4. $\lim _{t\rightarrow \infty }(\frac {40t}{t^{2}+10}-\frac {50}{t-1}+70)$

Kita evaluasi setiap bagian secara terpisah:

- $\lim_{t \to \infty} \frac{40t}{t^2 + 10} = \lim_{t \to \infty} \frac{40t}{t(t + \frac{10}{t})} = \lim_{t \to \infty} \frac{40}{t + \frac{10}{t}} = 0$.
- $\lim_{t \to \infty} \frac{50}{t - 1} = 0$.
- $\lim_{t \to \infty} 70 = 70$.

Jadi, $\lim _{t\rightarrow \infty }(\frac {40t}{t^{2}+10}-\frac {50}{t-1}+70) = 70$.

5. $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$

Menggunakan rumus selisih kuadrat, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini menjadi:

$\lim_{h \to 0} \frac{(x2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$.

Karena $x$ adalah variabel, hasilnya adalah $2x$, tetapi jika kita asumsikan $x$ mendekati suatu nilai, misalnya $x = 1$, maka $\lim_{h \to 0} 2x = 2$.

6. $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {2(x+h)^{1/2}-2x^{1/2}}{h}$

Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau menyederhanakan dengan mengalikan dan membagi dengan konjugat:

$\lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)^{1/2} - 2x^{1/2}}{h}lim_{h \to 0} \frac{2(x+h) - 2x}{h \sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h + \sqrt{x}} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{1 + \sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}