5. Nilai dari lim _(xarrow infty )sqrt (2x^2+3x+2)-x+2 adalah __ A. 5 B. (5)/(2) C. (7)/(2) D. (3)/(2) E. 1

Question

Pertanyaan

5. Nilai dari lim _(xarrow infty )sqrt (2x^2+3x+2)-x+2 adalah __ A. 5 B. (5)/(2) C. (7)/(2) D. (3)/(2) E. 1

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai dari \(\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{2x^2 + 3x + 2} - x + 2\).

Langkah pertama adalah menyederhanakan ekspresi di dalam akar. Kita tahu bahwa ketika \(x\) mendekati tak hingga, suku dengan pangkat tertinggi akan mendominasi. Dalam hal ini, suku dengan pangkat tertinggi adalah \(2x^2\).

Jadi, kita bisa memulai dengan mengasumsikan \(x\) sangat besar sehingga \(3x\) dan \(2\) menjadi tidak signifikan dibandingkan dengan \(2x^2\). Maka, kita bisa mendekati ekspresi tersebut sebagai berikut:

\[
\sqrt{2x^2 + 3x + 2} \approx \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}
\]

Namun, kita perlu mengurangi \(x\) dari ekspresi ini, jadi kita harus memperhatikan bahwa:

\[
\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - x = \sqrt{2x^2 + 3x + 2} - x
\]

Karena kita hanya tertarik pada limit saat \(x\) mendekati tak hingga, kita bisa mengabaikan \(3x\) dan \(2\) dalam akar, sehingga kita mendapatkan:

\[
\sqrt{2x^2} - x = x\sqrt{2} - x = x(\sqrt{2} - 1)
\]

Sekarang, kita tambahkan 2 ke ekspresi ini:

\[
x(\sqrt{2} - 1) + 2
\]

Ketika \(x\) mendekati tak hingga, \(x(\sqrt{2} - 1)\) juga akan mendekati tak hingga. Namun, kita perlu mencari nilai limit dari seluruh ekspresi, bukan hanya bagian \(x(\sqrt{2} - 1)\). Jadi, kita harus mempertimbangkan bahwa ketika \(x\) sangat besar, \(\sqrt{2x^2 + 3x + 2}\) akan mendekati \(x\sqrt{2}\), dan oleh karena itu, seluruh ekspresi mendekati:

\[
x\sqrt{2} - x + 2
\]

Ini berarti bahwa ketika \(x\) mendekati tak hingga, seluruh ekspresi mendekati \(2\). Oleh karena itu, nilai dari limit tersebut adalah:

\[
\boxed{\frac{3}{2}}
\

Pertanyaan

5. Nilai dari lim _(xarrow infty )sqrt (2x^2+3x+2)-x+2 adalah __ A. 5 B. (5)/(2) C. (7)/(2) D. (3)/(2) E. 1

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih