Buktikan a sin(z_(1)+z_(2))=sinz_(1)cosz_(2)+cosz_(1)sinz_(2) b cosh(z_(1)+z_(2))=coshz_(1)coshz_(2)+ sinhz_(1)sinhz_(2) tanh(z+pi )=tanhz

Question

Pertanyaan

Buktikan a sin(z_(1)+z_(2))=sinz_(1)cosz_(2)+cosz_(1)sinz_(2) b cosh(z_(1)+z_(2))=coshz_(1)coshz_(2)+ sinhz_(1)sinhz_(2) tanh(z+pi )=tanhz

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Mari kita buktikan setiap identitas satu per satu.

a. \(\sin(z_1 + z_2) = \sin(z_1)\cos(z_2) + \cos(z_1)\sin(z_2)\)

Ini adalah identitas penjumlahan untuk fungsi trigonometri sinus. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi eksponensial dari bilangan kompleks:

\[
z_1 = re\theta_1}, \quad z_2 = se^{i\phi_2}
\]

Maka,

\[
z_1 + z_2 = (r + s)e^{i(\theta_1 + \phi_2)}
\]

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar:

\[
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
\]

Kita substitusi \(A = \theta_1\) dan \(B = \phi_2\):

\[
\sin(z_1 + z_2) = \sin((r + s)e^{i(\theta_1 + \phi_2)}) = \sin(r + s)e^{i(\theta_1 + \phi_2)}
\]

Dan karena:

\[
\sin(re^{i\theta}) = \sin r \cos \theta + i \cos r \sin \theta
\]

Jadi,

\[
\sin(z_1 + z_2) = (\sin(r + s)\cos(\theta_1 + \phi_2)) + i(\cos(r + s)\sin(\theta_1 + \phi_2))
\]

Sekarang kita pecah menjadi bagian nyata dan imajiner:

\[
\sin(z_1 + z_2) = \sin(r + s)\cos(\theta_1 + \phi_2) + i\cos(r + s)\sin(\theta_1 + \phi_2)
\]

Kita tahu bahwa:

\[
\sin(z_1) = \sin r \cos \theta + i \cos r \sin \theta
\]
\[
\cos(z_2) = \cos s \cos \phi - i \sin s \sin \phi
\]

Maka,

\[
\sin(z_1)\cos(z_2) = (\sin r \cos \theta + i \cos r \sin \theta)(\cos s \cos \phi - i \sin s \sin \phi)
\]

\[
= \sin r \cos s \cos \theta \cos \phi - i \sin r \sin s \sin \theta \sin \phi + i \cos r \sin \theta \cos s \cos \phi - \cos r \sin s \sin \phi \sin \theta
\]

\[
= \sin r \cos s \cos \theta \cos \phi - i (\sin r \sin s \sin \theta \sin \phi - \cos r \sin s \sin \phi \sin \theta) + i \cos r \sin \theta \cos s \cos \phi
\]

\[
= \sin r \cos s \cos \theta \cos \phi + i (\cos r \sin \theta \cos s \cos \phi - \sin r \sin s \sin \theta \sin \phi)
\]

\[
= \sin(z_1)\cos(z_2) + i\cos(z_1)\sin(z_2)
\]

Jadi, kita mendapatkan:

\[
\sin(z_1 + z_2) = \sin(z_1)\cos(z_2) + \cos(z_1)\sin(z_2)
\]

b. \(\cosh(z_1 + z_2) = \cosh(z_1)\cosh(z_2) - \sinh(z_1)\sinh(z_2)\)

Ini adalah identitas penjumlahan untuk fungsi hiperbolik. Untuk membannya, kita gunakan definisi eksponensial dari bilangan kompleks:

\[
z_1 = \cosh(r) + i\sinh(r), \quad z_2 = \cosh(s) + i\sinh(s)
\]

Maka,

\[
z_1 + z_2 = \cosh(r + s) + i(\sinh(r + s))
\]

Dengan menggunakan identitas hiperbolik:

\[
\cosh(A + B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B
\]

Kita substitusi \(A = r\) dan \(B = s\):

\[
\cosh(z_1 + z_2) = \cosh(r + s) = \c

Pertanyaan

Buktikan a sin(z_(1)+z_(2))=sinz_(1)cosz_(2)+cosz_(1)sinz_(2) b cosh(z_(1)+z_(2))=coshz_(1)coshz_(2)+ sinhz_(1)sinhz_(2) tanh(z+pi )=tanhz

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih