lim _(harrow 0)((x+h)^2-x^2)/(h) lim _(harrow 0)(2(x+h)^1/2-2x^1/2)/(h) lim _(narrow infty )(1+(1)/(n))^n lim _(narrow infty )(10,000,000(1+(6% )/(n))^3n)

Mari kita selesaikan setiap limit satu per satu.

1. $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$

Ini adalah definisi dari turunan fungsi $f(x) = x^2$ di titik $x$. Jadi, kita hanya perlu mencari turunan dari $f(x) = x^2$ dan mengevaluasinya di $x$.

Turunan dari $f(x) = x^2$ adalah $f'(x) = 2x$. Jadi,

$\lim _{h\rightarrow 0}\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h} = 2x$.

2. $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {2(x+h)^{1/2}-2x^{1/2}}{h}$

Ini adalah definisi dari turunan fungsi $f(x) = x^{1/2}$ di titik $x$. Jadi, kita hanya perlu mencari turunan dari $f(x) = x^{1/2}$ dan mengevaluasinya di $x$.

Turunan dari $f(x) = x^{1/2}$ adalah $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$. Jadi,

$\lim _{h\rightarrow 0}\frac {2(x+h)^{1/2}-2x^{1/2}}{h} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

3. $\lim _{n\rightarrow \infty }(1+\frac {1}{n})^{n}$

Ini adalah batas klasik yang dikenal sebagai bilangan Euler. Nilai dari batas ini adalah $e$, yang kira-kira sama dengan 2.71828. Jadi,

$\lim _{n\rightarrow \infty }(1+\frac {1}{n})^{n} = e$.

4. $\lim _{n\rightarrow \infty }(10,000,000(1+\frac {6\% }{n})^{3n})$

Ini adalah batas yang melibatkan faktor skala besar (10,000,000) dan eksponen yang bergantung pada $n$. Kita bisa memisahkan faktor skala besar dan fokus pada batas dari bagian eksponensial terlebih dahulu.

Bagian eksponensialnya adalah $\lim _{n\rightarrow \infty }(1+\frac {6\% }{n})^{3n}$. Kita bisa menulis ulang ini sebagai $\lim _{n\rightarrow \infty }((1+\frac {6\% }{n})^{n})^3$. Karena kita tahu bahwa $\lim _{n\rightarrow \infty }((1+\frac {6\% }{n})^{n}) = e^{6\%}$, maka

$\lim _{n\rightarrow \infty }((1+\frac {6\% }{n})^{n}) = (e^{6\%})^3 = e^{18\%}$.

Sekarang, kita kalikan hasil ini dengan faktor skala besar:

$\lim _{n\rightarrow \infty }(10,000,000(1+\frac {6\% }{n})^{3n}) = 10,000,000 \cdot e^{18\%}$.

Jadi,

$\lim _{n\rightarrow \infty }(10,000,000(1+\frac {6\% }{n})^{3n}) = 10,000,000 \cdot e^{18\%}$.

Nilai numerik dari $e^{18\%}$ kira-kira adalah 1.1947, jadi

$\lim _{n\rightarrow \infty }(10,000,000(1+\frac {6\% }{n})^{3n}) \approx 10,000,000 \cdot 1.1947 = 11,947,000$.

Jadi,

$\lim _{n\rightarrow \infty }(10,000,000(1+\frac {6\% }{n})^{3n}) \approx 11,947,000$.