Pertanyaan
Buktikan: a sin(z_(1)+z_(2))=sinz_(1)cosz_(2)+cosz_(1)sinz_(2) b cosh(z_(1)+z_(2))=coshz_(1)coshz_(2)+ sinhz_(1)sinhz_(2) c tanh(z+pi i)=tanhz
Jawaban
a. \(\sin(z_1 + z_2) = \sin(z_1)\cos(z_2) + \cos(z_1)\sin(z_2)\)
Ini adalah identitas penjumlahan untuk fungsi trigonometri sinus. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi eksponensial dari fungsi trigonometri:
\[
z_1 = x_1 + iy_1, \quad z_2 = x_2 + iy_2
\]
\[
\_1 + z_2) = \sin((x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2))
\]
Dengan menggunakan identitas Euler, kita memiliki:
\[
\sin(a + bi) = \frac{1}{2i} \left( e^{a+bi} - e^{-a-bi} \right)
\]
Jadi,
\[
\sin(z_1 + z_2) = \frac{1}{2i} \left( e^{(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)} - e^{-(x_1 + x_2) - i(y_1 + y_2)} \right)
\]
Sekarang, kita pecah menjadi bagian nyata dan imajiner:
\[
\sin(z_1 + z_2) = \frac{1}{2i} \left( \cos(y_1 + y_2) + i\sin(y_1 + y_2) \right) - \frac{1}{2i} \left( \cos(-y_1 - y_2) + i\sin(-y_1 - y_2) \right)
\]
\[
= \frac{1}{2i} \left( \cos(y_1 + y_2) + i\sin(y_1 + y_2) - \cos(y_1 + y_2) + i\sin(y_1 + y_2) \right)
\]
\[
= \frac{1}{2i} \left( 2i\sin(y_1 + y_2) \right)
\]
\[
= \sin(y_1 + y_2)
\]
Sekarang kita gunakan identitas trigonometri dasar:
\[
\sin(z_1 + z_2) = \sin(z_1)\cos(z_2) + \cos(z_1)\sin(z_2)
\]
Bukti selesai.
b. \(\cosh(z_1 + z_2) = \cosh(z_1)\cosh(z_2) + \sinh(z_1)\sinh(z_2)\)
Ini adalah identitas penjumlahan untuk fungsi hiperbolik. Untuk membuktikannya, kita gunakan definisi eksponensial dari fungsi hiperbolik:
\[
z_1 = x_1 + iy_1, \quad z_2 = x_2 + iy_2
\]
\[
\cosh(z_1 + z_2) = \cosh((x_1 + x_2)(y_1 + y_2))
\]
Dengan menggunakan identitas Euler, kita memiliki:
\[
\cosh(a + bi) = \cosh(a)\cos(bi) - \sinh(a)\sin(bi)
\]
Jadi,
\[
\cosh(z_1 + z_2) = \cosh(x_1 + x_2)\cos(y_1 + y_2) - \sinh(x_1 + x_2)\sin(y_1 + y_2)
\]
Sekarang, kita pecah menjadi bagian nyata dan imajiner:
\[
\cosh(z_1 + z_2) = \cosh(x_1 + x_2)\cos(y_1 + y_2) - \sinh(x_1 + x_2)\sin(y_1 + y_2)
\]
Kita tahu bahwa:
\[
\cosh(x_1 + x_2) = \cosh^2(x_1) + \sinh^2(x_1) + 2\cosh(x_1)\sinh(x)\cos(x_2)
\]
\[
\sinh(x_1 + x_2) = \sinh^2(x_1) + \cosh^2(x_1) + 2\cosh(x_1)\sinh(x_1)\sin(x_2)
\]
Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut, kita mendapatkan:
Pertanyaan Panas
lebih
Pada suatu barisan aritmetika diketahui u_(3)=26 dan u_(8)=56 , maka u_(13)=dots . A. 75 B. 85 C. 86 D. 95 E. 96
Nilai dari (a^((3)/(5))xa^((1)/(3)))/(a^((7)/(15))) adalah ... A. a^((7)/(15)) B. a^((2)/(15)) C. a D. a^(2)
Putri membeli boneka seharga Rp. 50.000. Kemudian, boneka dijual lagi dengan harga Rp. 80.000. Berapa persen keuntungan Putri? 30% 40% 50% 60% 70%
Ranil pombagian tho home Latihan 18 Kerjakan soal-soal berikut. Tulislah dalam bentuk pecahan desimal. a. (5)/(10) c. (25)/(1.000) b. (5)/(100) d. (5)
Bilangan rasional yang nilainya terbesar adalah.... a. (5)/(8) c. (3)/(5) b. (2)/(3) d. (1)/(2) Ketidaksamaan-ketidaksamaan di bawah ini yang benar ad
Q adalah himpunan semua bilangan Rasional dengan operasi + dan * yang didefinisikan sebagai berikut : AA a,b in Q,a+b=a+b+1,a**b=a+b+ab , Selidiki bah
persamaan untuk menentukan jumlah kelereng dari Reno! 6. Jumlah tiga bilangan asli berurutan adalah 114 Tuliskan persamaannya! 7. Selisih panjang dan
Nilai dari lim_(x rarr(3)/(2))(4x+1)/(2x-3)=-oo adalah pernyataan yang benar. Pilih satu: BENAR PALSU
Suatu regu pramuka membuat pionering gazebo. Satu pionering dikerjakan oleh 6 orang menghabiskan waktu selama 90 menit. Bila pionering tersebut dikerj
Himpunan penyelesaian dari 2x+3 <= x-2 , untuk x bilangan bulat adalah ....
Sulawesi berikut ini. Bulatkan pertama dan berikan jawaban bilangan bulat. 2.659.163 orang 61.841km^(2)
Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Maka berapakah modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun!
Sub Kegiatan 3.1 Letakkan tutup botol pada koordinat A(3,4) . Gambar ruas garis yang tegak lurus terhadap sumbu- x dari titik A . Hitung jarak titik A
Persamaan lingkaran dengan pusat (-4,2) dan menyinggung sumbu Y adalah .... A. x^(2)+y^(2)+8x+4y+4=0 B. x^(2)+y^(2)+8x-4y+4=0 C. x^(2)+y^(2)+8x-4y+16=
Persamaan di bawah ini yang bukan persamaan linier adalah... x+y=2^(2) 3=(1)/(x+y) sqrtx=3-y (1)/(x+y-2)=(2)/(x-y+2)