Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini membentuk basis (1) u1=(a,a+1,b),u2=(a-1,a,b-1)u3=(b,b-1,a+3) (2) u1=(a-1,a,b+1,b),u2=(a,a+1,b-2,b+2), u3=(b-2,b+1,a,a+2),u4=(b+2,b,a+2,a-2)

Untuk menentukan apakah himpunan vektor membentuk basis, kita perlu memeriksa apakah vektor-vektor tersebut linearly independent (tak bergantung secara linear) dan span (menjangkau) seluruh ruang vektor. Karena kita tidak diberikan dimensi ruang vektornya, kita akan memeriksa kemerdekaan linear terlebih dahulu. Jika vektor-vektor tersebut bergantung secara linear, maka mereka *tidak* membentuk basis.

Metode: Kita akan menggunakan determinan matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Jika determinan matriksnya nol, maka vektor-vektor tersebut bergantung secara linear.

(1) u1 = (a, a+1, b), u2 = (a-1, a, b-1), u3 = (b, b-1, a+3)

Kita bentuk matriks A dengan vektor-vektor u1, u2, dan u3 sebagai kolom:

```
A = | a a-1 b |
| a+1 a b-1 |
| b b-1 a+3 |
```

Untuk menentukan apakah vektor-vektor ini membentuk basis, kita perlu menghitung determinan matriks A. Karena a dan b adalah variabel, kita tidak bisa menghitung determinan secara langsung untuk mendapatkan nilai numerik. Namun, kita bisa memeriksa apakah ada kasus di mana determinan tersebut *pasti* nol, yang menunjukkan ketergantungan linear. Jika kita bisa menemukan nilai a dan b yang membuat determinan nol, maka vektor-vektor tersebut bergantung secara linear dan *tidak* membentuk basis. Jika kita tidak bisa menemukan nilai a dan b yang membuat determinan nol, itu *tidak cukup* untuk membuktikan bahwa vektor-vektor tersebut membentuk basis. Kita perlu bukti lebih lanjut untuk menunjukkan bahwa mereka menjangkau seluruh ruang vektor.

Kesimpulan (1): Tanpa informasi lebih lanjut tentang nilai a dan b, atau dimensi ruang vektor, kita tidak dapat secara pasti menentukan apakah {u1, u2, u3} membentuk basis. Perlu analisis lebih lanjut atau informasi tambahan.


(2) u1 = (a-1, a, b+1, b), u2 = (a, a+1, b-2, b+2), u3 = (b-2, b+1, a, a+2), u4 = (b+2, b, a+2, a-2)

Dalam kasus ini, kita memiliki empat vektor dalam ruang berdimensi empat (asumsikan). Kita bentuk matriks B dengan vektor-vektor u1, u2, u3, dan u4 sebagai kolom:

```
B = | a-1 a b-2 b+2 |
| a a+1 b+1 b |
| b+1 b-2 a a+2 |
| b b+2 a+2 a-2 |
```

Sama seperti kasus sebelumnya, menghitung determinan matriks B secara langsung dengan a dan b sebagai variabel akan rumit. Kemungkinan besar, determinan akan menjadi fungsi dari a dan b. Jika kita bisa menemukan nilai a dan b yang membuat determinan nol, maka vektor-vektor tersebut bergantung secara linear dan *tidak* membentuk basis. Jika determinan tidak pernah nol untuk semua nilai a dan b, maka vektor-vektor tersebut mungkin membentuk basis (tetapi kita masih perlu membuktikan bahwa mereka menjangkau seluruh ruang vektor).

Kesimpulan (2): Sama seperti kasus (1), tanpa informasi lebih lanjut tentang nilai a dan b, atau bukti bahwa mereka menjangkau seluruh ruang vektor, kita tidak dapat secara pasti menentukan apakah {u1, u2, u3, u4} membentuk basis. Perlu analisis lebih lanjut atau informasi tambahan.


Kesimpulan Umum: Untuk menentukan apakah suatu himpunan vektor membentuk basis, kita perlu memeriksa kemerdekaan linear dan kemampuan menjangkau seluruh ruang vektor. Menghitung determinan matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut adalah langkah penting untuk memeriksa kemerdekaan linear, tetapi tidak cukup untuk membuktikan bahwa mereka membentuk basis.