1. If A and B are unit vectors with an angle Theta between them, and C is a unit vector perpendicular to both A and B, evaluate [(Atimes B)times (Btimes C)]times (Ctimes A)

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami beberapa konsep dasar dari vektor dan operasi silang (cross product). Mari kita evaluasi ekspresi yang diberikan langkah demi langkah.

1. Unit Vectors dan Sudut Antara Mereka:
- Vektor \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) adalah vektor satuan, yang berarti panjangnya adalah 1.
- Sudut antara \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) adalah \( \Theta \).

2. Vektor Perpendicular:
- Vektor \( \mathbf{C} \) adalah vektor satuan yang tegak lurus terhadap kedua \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \). Ini berarti \( \mathbf{C} ortogonal terhadap \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \).

3. Cross Product:
- Cross product dari dua vektor \( \mathbf{U} \) dan \( \mathbf{V} \) adalah vektor \( \mathbf{W} \) yang panjangnya sama dengan luas paralelogram yang dibentuk oleh \( \mathbf{U} \) dan \( \mathbf{V} \), dan arahnya ditentukan oleh aturan tangan kanan.

Mari kita hitung setiap bagian dari ekspresi:

Langkah 1:

Hitung \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \)
\( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \) adalah vektor satuan dengan sudut \( \Theta \) di antara mereka, maka:
\[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin(\Theta) = \sin(\Theta) \]

Arah dari \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh \( \mathbf{A} \) dan \( \mathbf{B} \).

Langkah 2:

Hitung \( \mathbf{B} \times \mathbf{C} \)
Karena \( \mathbf{C}ak lurus terhadap \( \mathbf{B} \), maka:
\[ |\mathbf{B} \times \mathbf{C}| = |\mathbf{B}| |\mathbf{C}| \sin(90^\circ) = |\mathbf{C}| = 1 \]

Arah dari \( \mathbf{B} \times \mathbf{C} \) adalah sejajar dengan \( \mathbf{A} \) karena \( \mathbf{C} \) tegak lurus terhadap \( \mathbf{B} \).

Langkah 3:

Hitung \( (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \)
Karena \( \mathbf{B} \times \mathbf{C} \) sejajar dengan \( \mathbf{A} \), maka:
\[ (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{A} \]

Langkah 4:

Hitung \( \mathbf{C} \times \mathbf{A} \)
Karena \( \mathbf{C} \) tegak lurus terhadap \( \mathbf{A} \), maka:
\[ |\mathbf{C} \times \mathbf{A}| = |\mathbf{C}| |\mathbf{A}| \sin(90^\circ) = 1 \]

Arah dari \( \mathbf{C} \times \mathbf{A} \) adalah sejajar dengan \( \mathbf{B} \) karena \( \mathbf{C} \) tegak lurus terhadap \( \mathbf{A} \).

Langkah 5:

Hitung \( [( \mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \times ( \mathbf{B} \times \mathbf{C} )] \times ( \mathbf{C} \times \mathbf{A} ) \)
Karena \( (\mathbf{A} \times \math