4. Nilai dari lim _(xarrow infty )sqrt (x^4+2x^3+4x^2)-sqrt (x^4+2x^3-x^2) adalah __ A. 0 B. (1)/(2) C. (3)/(2) D. (5)/(2) E. 1

Question

Pertanyaan

4. Nilai dari lim _(xarrow infty )sqrt (x^4+2x^3+4x^2)-sqrt (x^4+2x^3-x^2) adalah __ A. 0 B. (1)/(2) C. (3)/(2) D. (5)/(2) E. 1

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai dari \(\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^4 + 2x^3 + 4x^2} - \sqrt{x^4 + 2x^3 - x^2} \right)\).

Langkah pertama adalah menyederhanakan ekspresi di dalam limit. Kita bisa memfaktorkan \(x^2\) dari dalam akar kuadrat:

\[
\sqrt{x^4 + 2x^3 + 4x^2} = \sqrt{x^2(x^2 + 2x + 4)}
\]

\[
\sqrt{x^4 + 2x^3 - x^2} = \sqrt{x^2(x^2 + 2x - 1)}
\]

Karena kita hanya tertarik pada limit saat \(x\) mendekati tak hingga, kita bisa mengabaikan konstanta yang tidak relevan dan fokus pada suku utama:

\[
\sqrt{x^2(x^2 + 2x + 4)} \approx x \sqrt{x^2 + 2x + 4}
\]

\[
\sqrt{x^2(x^2 + 2x - 1)} \approx x \sqrt{x^2 + 2x - 1}
\]

Sekarang kita perhatikan bahwa:

\[
\sqrt{x^2 + 2x + 4} \approx \sqrt{x^2} = x
\]

\[
\sqrt{x^2 + 2x - 1} \approx \sqrt{x^2} = x
\]

Jadi, kita punya:

\[
\sqrt{x^2 + 2x + 4} \approx x + \frac{2x}{2x} = x + 1
\]

\[
\sqrt{x^2 + 2x - 1} \approx x - \frac{x}{2x} = x - \frac{1}{2}
\]

Maka, ekspresi yang diberikan menjadi:

\[
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \sqrt{x^4 + 2x^3 + 4x^2} - \sqrt{x^4 + 2x^3 - x^2} \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( (x + 1) - (x - \frac{1}{2}) \right)
\]

\[
= \lim_{x \rightarrow \infty} \left( x + 1 - x + \frac{1}{2} \right)
\]

\[
= \lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} \right)
\]

\[
= \frac{3}{2}
\]

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah \(\frac{3}{2}\). Jawaban yang benar adalah C.

Pertanyaan

4. Nilai dari lim _(xarrow infty )sqrt (x^4+2x^3+4x^2)-sqrt (x^4+2x^3-x^2) adalah __ A. 0 B. (1)/(2) C. (3)/(2) D. (5)/(2) E. 1

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih