Soal Matematika Hitunglah volume benda putar yang dihasilkan jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 dan y=x diputar mengelilingi sumbu y .

Untuk menghitung volume benda putar yang dihasilkan jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x diputar mengelilingi sumbu y, kita akan menggunakan metode cakram (disk method) dengan mengintegral terhadap sumbu y.

1. Menentukan titik potong:

Pertama, kita perlu mencari titik potong antara kedua kurva y = x² dan y = x. Kita samakan kedua persamaan:

x² = x

x² - x = 0

x(x - 1) = 0

Jadi, titik potongnya adalah x = 0 dan x = 1. Ini berarti daerah yang kita perhatikan berada di antara x = 0 dan x = 1. Karena kita akan mengintegral terhadap y, kita perlu menyatakan x sebagai fungsi y.

Dari y = x², kita dapatkan x = √y.
Dari y = x, kita dapatkan x = y.

2. Menentukan batas integral:

Batas integral kita adalah nilai y yang sesuai dengan titik potong. Ketika x = 0, y = 0. Ketika x = 1, y = 1. Jadi, batas integral kita adalah dari y = 0 sampai y = 1.

3. Menerapkan metode cakram:

Volume benda putar yang dihasilkan dengan metode cakram diberikan oleh rumus:

V = π ∫[R(y)² - r(y)²] dy

di mana:

* R(y) adalah jari-jari luar (jarak dari sumbu y ke kurva x = y)
* r(y) adalah jari-jari dalam (jarak dari sumbu y ke kurva x = √y)

Dalam kasus ini:

R(y) = y
r(y) = √y

Maka rumus volumenya menjadi:

V = π ∫₀¹ [(y)² - (√y)²] dy
V = π ∫₀¹ (y² - y) dy

4. Melakukan integrasi:

V = π [ (y³/3) - (y²/2) ]₀¹
V = π [ (1³/3) - (1²/2) - (0³/3) + (0²/2) ]
V = π [ (1/3) - (1/2) ]
V = π [ (2 - 3) / 6 ]
V = π (-1/6)

Karena volume tidak bisa negatif, kita ambil nilai absolutnya:

V = π/6

Kesimpulan:

Volume benda putar yang dihasilkan jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x diputar mengelilingi sumbu y adalah π/6 satuan volume.