(3). Carilah invers dari Matriks berikut ini [3 & -1 & 5 2 & 4 & 1 1 & 5 & -4]

Untuk mencari invers dari matriks 3x3, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau metode adjoin. Berikut adalah langkah-langkah menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan:

1. Tulis matriks asli dan gabungkan dengan matriks identitas:

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
3 & -1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

2. Ubah matriks menjadi matriks eselon:

- R1: \( R1 = R1 / 3 \)

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1/3 & 5/3 & 1/3 & 0 & 0 \\
2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

- R2: \( R2 = R2 - 2R1 \)

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1/3 & 5/3 & 1/3 & 0 & 0 \\
0 & 4 + 2/3 & 1 - 10/3 & -2/3 & 1 & 0 \\
1 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

- R3: \( R3 = R3 - R1 \)

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1/3 & 5/3 & 1/3 & 0 & 0 \\
0 & 4 + 2/3 & 1 - 10/3 & -2/3 & 1 & 0 \\
0 & 5 + 1/3 & -4 - 5/3 & -1/3 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

- R2: \( R2 = R2 / (4 + 2/3) \)

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1/3 & 5/3 & 1/3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & -1/2 & 3/8 & 0 \\
0 & 5 + 1/3 & -4 - 5/3 & -1/3 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

- R3: \( R3 = R3 - (5 + 1/3)R2 \)

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1/3 & 5/3 & 1/3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & -1/2 & 3/8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]
\]

3. Periksa apakah matriks sudah dalam bentuk eselon tereduksi:

Matriks ini sudah dalam bentuk eselon tereduksi.

4. Ambil bagian kiri dari matriks hasil:

Invers dari matriks tersebut adalah:

\[
\left[\begin{array}{ccc}
1/3 & -1/3 & 5/3 \\
-1/2 & 1 & -1 \\
0 & 3/8 & 1
\end{array}\right]
\]

Jadi, invers dari matriks tersebut adalah:

\[
\left[\begin{array}{ccc}
1/3 & -1/3 & 5/3 \\
-1/2 & 1 & -1 \\
0 & 3/8 & 1
\end{array}\right]
\]