1. Tentukan F(xi ) untuk fungsi f(x)= ) 1,&-1lt xlt 1 0,&xlainnya 2. Tentukan transformasi Fourier untuk fungsi f(x)= ) 1,&vert xvert lt a 0,&vert xvert gt a 3. Tentukan konvolusi fungsi f dan g , bilamana f(x)=cosx dan g(x)= ) e^x,&vert xvert leqslant 1 0,&vert xvert gt 1

Question

Pertanyaan

1. Tentukan F(xi ) untuk fungsi f(x)= ) 1,&-1lt xlt 1 0,&xlainnya 2. Tentukan transformasi Fourier untuk fungsi f(x)= ) 1,&vert xvert lt a 0,&vert xvert gt a 3. Tentukan konvolusi fungsi f dan g , bilamana f(x)=cosx dan g(x)= ) e^x,&vert xvert leqslant 1 0,&vert xvert gt 1

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Mari kita selesaikan setiap pertanyaan satu per satu.

1. Tentukan \( F(\xi) \) untuk fungsi
\[ f(x) = \begin{cases}
1, & -1 < x < 1 \\
0, & \text{lainnya}
\end{cases} \]

Fungsi \( f(x) \) adalah fungsi berbentuk segitiga dengan lebar 2 dan tinggi 1. Transformasi Fourier dari fungsi ini dapat ditemukan dengan menggunakan sifat-sifat transformasi Fourier pada fungsi berbentuk segitiga.

Transformasi Fourier dari \( f(x) \) adalah:

\[ F(\xi) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx \]

Karena \( f(x) = 1 \) untuk \( -1 < x < 1 \) dan \( f(x) = 0 \) di tempat lain, kita memiliki:
\[ F(\xi) = \int_{-1}^{1} 1 \cdot e^{-2\pi i \xi x} \, dx \]

Menyelesaikan integral ini:
\[ F(\xi) = \left[ \frac{e^{-2\pi i \xi x}}{-2\pi i \xi} \right]_{-1}^{1} \]
\[ F(\xi) = \frac{1 - e^{2\pi i \xi}}{-2\pi i \xi} \]

Jadi, transformasi Fourier dari \( f(x) \) adalah:
\[ F(\xi) = \frac{1 - e^{2\pi i \xi}}{-2\pi i \xi} \]

2. Tentukan transformasi Fourier untuk fungsi
\[ f(x) = \begin{cases}
1, & | < a \\
0, & |x| > a
\end{cases} \]

Fungsi ini adalah fungsi berbentuk segitiga dengan lebar \(2a\) dan tinggi 1. Transformasi Fourier dari fungsi ini dapat ditemukan dengan cara yang sama seperti sebelumnya.

Transformasi Fourier dari \( f(x) \) adalah:

\[ F(\xi) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx \]

Karena \( f(x) = 1 \) untuk \( |x| < a \) dan \( f(x) = 0 \) di tempat lain, kita memiliki:
\[ F(\xi) = \int_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-2\pi i \xi x} \, dx \]

Menyelesaikan integral ini:
\[ F(\xi) = \left[ \frac{e^{-2\pi i \xi x}}{-2\pi i \xi} \right]_{}^{a} \]
\[ F(\xi) = \frac{e^{-2\pi i \xi a} - e^{2\pi i \xi a}}{-2\pi i \xi} \]

Jadi, transformasi Fourier dari \( f(x) \) adalah:
\[ F(\xi) = \frac{e^{-2\pi i \xi a} - e^{2\pi i \xi a}}{-2\pi i \xi} \]

3. Tentukan konvolusi fungsi \( f \) dan \( g \), bilamana \( f(x) = \cos x \) dan
\[ g(x) = \begin{cases}
e^{x}, & |x| \leqslant 1 \\
0, & |x| > 1
\end{cases} \]

Konvolusi dari dua fungsi \( f(x) \) dan \( g(x) \) didefinisikan sebagai:

\[ (f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(x - \tau) \, d\tau \]

Dalam kasus ini, kita perlu menghitung:
\[ (f * g)(x) = \int_{-1}^{1} \cos(\tau) e^{x - \tau} \, d\tau \]

Karena(x) = 0 \) untuk \( |x| > 1 \), kita hanya perlu mengintegrasikan dalam batas dari \(-1\) hingga \(1\yelesaikan integral ini:
\[ (f * g)(x) = \int_{-

Pertanyaan

1. Tentukan F(xi ) untuk fungsi f(x)= ) 1,&-1lt xlt 1 0,&xlainnya 2. Tentukan transformasi Fourier untuk fungsi f(x)= ) 1,&vert xvert lt a 0,&vert xvert gt a 3. Tentukan konvolusi fungsi f dan g , bilamana f(x)=cosx dan g(x)= ) e^x,&vert xvert leqslant 1 0,&vert xvert gt 1

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih