20.Tentukan persamaan garis g yang melalui titik (2,5) dan menyinggung parabol y=4x-x^2 . 5 21.Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva f(x)=x^3-3x^2 di titik (1,-2) 22.Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar garis y=-x pada kurva f(x)=2sqrt (2-x)

20. Menentukan Persamaan Garis g

Langkah 1: Mencari titik singgung pada parabola

Misalkan titik singgung pada parabola $y = 4x - x^2$ adalah $(a, 4a - a^2)$. Gradien garis singgung di titik ini adalah turunan pertama dari fungsi parabola:

$y' = 4 - 2x$

Di titik $(a, 4a - a^2)$, gradiennya adalah $m = 4 - 2a$.

Langkah 2: Mencari persamaan garis g

Garis g melalui titik $(2, 5)$ dan $(a, 4a - a^2)$. Gradien garis g adalah:

$m = \frac{(4a - a^2) - 5}{a - 2}$

Karena garis g menyinggung parabola, gradien garis g sama dengan gradien garis singgung di titik $(a, 4a - a^2)$:

$\frac{4a - a^2 - 5}{a - 2} = 4 - 2a$

$4a - a^2 - 5 = (4 - 2a)(a - 2)$

$4a - a^2 - 5 = 4a - 8 - 2a^2 + 4a$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

$(a - 1)(a - 3) = 0$

Jadi, $a = 1$ atau $a = 3$.

Langkah 3: Menentukan persamaan garis g untuk masing-masing nilai a

* Jika a = 1: Titik singgung adalah (1, 3). Gradien garis g adalah $4 - 2(1) = 2$. Persamaan garis g adalah:
$y - 5 = 2(x - 2)$
$y = 2x + 1$

* Jika a = 3: Titik singgung adalah (3, 3). Gradien garis g adalah $4 - 2(3) = -2$. Persamaan garis g adalah:
$y - 5 = -2(x - 2)$
$y = -2x + 9$

Jadi, terdapat dua garis yang memenuhi syarat, yaitu $y = 2x + 1$ dan $y = -2x + 9$.


21. Garis Singgung dan Garis Normal pada Kurva f(x) = x³ - 3x² di titik (1, -2)

Langkah 1: Mencari gradien garis singgung

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Gradien garis singgung di titik (1, -2) adalah:

$m_{singgung} = f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3$

Langkah 2: Mencari persamaan garis singgung

$y - (-2) = -3(x - 1)$

$y + 2 = -3x + 3$

$y = -3x + 1$

Langkah 3: Mencari gradien garis normal

Gradien garis normal adalah negatif kebalikan dari gradien garis singgung:

$m_{normal} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

Langkah 4: Mencari persamaan garis normal

$y - (-2) = \frac{1}{3}(x - 1)$

$y + 2 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{3}$


22. Garis Singgung Sejajar y = -x pada kurva f(x) = 2√(2 - x)

Langkah 1: Mencari gradien garis singgung

Gradien garis $y = -x$ adalah -1. Gradien garis singgung harus sama dengan -1.

$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}(2 - x)^{-1/2} \cdot (-1) = \frac{-1}{\sqrt{2 - x}}$

Kita cari x sehingga $f'(x) = -1$:

$\frac{-1}{\sqrt{2 - x}} = -1$

$\sqrt{2 - x} = 1$

$2 - x = 1$

$x = 1$

Langkah 2: Mencari titik singgung

$f(1) = 2\sqrt{2 - 1} = 2$

Titik singgung adalah (1, 2).

Langkah 3: Mencari persamaan garis singgung

$y - 2 = -1(x - 1)$

$y = -x + 3$


Jadi, persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis y = -x adalah y = -x + 3.